ἐποίησε τοῖς παραστάταις τούτοις ἴσον, ἵνα μὴ αἱ συμβολαὶ αὐτῶν ἐγγὺς ἀλλήλων ὦσιν, ἀλλ' ἀντιπαραλλάσσῃ πᾶς ἁρμὸς ἀφεστηκὼς πρὸς τὸν ἕτερον, καὶ τῇ τῶν παρακειμένων συνοχῇ καὶ ἑνότητι ἰσχὺν λαμβάνῃ. Καὶ κλίμακας δὲ πρὸς τὰς ἐπιζυγίδας διὰ τὴν ἀνάβασιν παρετίθει τὸ ἕτερον ἐκ τοῦ ἑτέρου πλευροῦ διαγωνίως χωριζούσας. Ἠσφαλίζετο δὲ τὸν πύργον καὶ σχοινίοις ἄνωθεν κατὰ τὰς γωνίας δεδεμένοις καὶ κατὰ μέσον ἔξω ἐπισυρομένοις, πλατυτέραν ἐν σχήματι βάσιν τῷ πύργῳ ἐμποιῶν οἱονεὶ ἕδραν, περιδεδεμένοις πασσάλοις περόνας ἔχουσιν ἢ σιδηροῖς ἥλοις καὶ κρίκοις πλαγίοις πρὸς τὴν ἀπότασιν ἐμπησσομένοις, οὐ μικρὰν βοήθειαν διὰ τῆς τῶν σχοινίων τάσεως πρὸς ὑποστήριξιν τῷ πύργῳ παρεχόμενος. Οὕτως ἐξ ὀλίγων καὶ μικρῶν ξύλων μέγα καὶ ἰσοϋψὲς τῷ τείχει κατεσκεύαζε πύργωμα, μήτε στεγῶν διαιρέσεις ἢ 243 ὕψη σημάνας, μήτε τῆς ἄνωθεν συναγωγῆς τὸ πέμπτον μέρος δηλώσας. Εἰ δέ τις ἀπορῶν ἐπιζητοίη τοῦτο, ἐκ τῆς κάτωθεν βάσεως λήψεται διὰ τοῦ ὑποτεθέντος ἐφ' ἑκάστῃ πλευρᾷ ἀριθμοῦ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ πλευρὰ ποδῶν ἐδόθη ι, πολλαπλασιαζομένη δὲ ἐπὶ τὴν ἑτέραν καὶ ἰσομήκη αὐτῆς ποιεῖ τὸ ὅλον ἐμβαδὸν ἤτοι τὸ ἔνδον τοῦ τετραπλεύρου χωρίον ποδῶν ˉσˉνˉ, καὶ ἔστι τούτων τὸ πέμπτον ποδῶν ˉνˉα πέμπτον ἔγγιστα· ζητῶ ποῖος ἀριθμὸς ἐφ' ἑαυτὸν ἢ ἐπὶ τὸν ἰσομήκη αὐτοῦ πολλαπλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ, καὶ εὑρίσκω τὸν ἑπτὰ ἕκτον ἔγγιστα· ἑπτὰ γὰρ ἐπὶ ἑπτὰ ˉμˉθ· καὶ ἑπτὰ ἐπὶ τὸ ἕκτον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δέκα λεπτὰ, ποιοῦσι λεπτὰ πρῶτα ˉο· πάλιν δὲ τὰ ˉι ἐπὶ ˉζ ποιοῦσιν ˉο· καὶ ἐκ τῶν συναγομένων λεπτῶν πρώτων ˉρˉμ τὰ μὲν ˉρˉκ εἰς πόδας δύο καταλογίζεσθαι, τὰ δὲ λοιπὰ εἰς τὸ μέρος· ὥστε τὰ πρὸς τῇ συναγωγῇ τῆς ἀνωτάτω στέγης τιθέμενα ζυγὰ ἀνὰ ποδῶν ἑπτὰ κατὰ μῆκος καὶ μέρους ἕκτου γινέσθωσαν. Ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς ὕψος ἀπὸ τῆς κάτωθεν βά σεως τιθέμεναι ἐννέα στέγαι ἐπὶ τὴν τοῦ μήκους καὶ πλάτους ἐπέμβασιν κατὰ τὸν τοῦ τετραπλεύρου περιορισμὸν ἀνὰ πόδα ἀφαιροῦσαι ἐκ τῶν δεκαὲξ, ἑπτὰ ἔγγιστα καταλιμπάνουσιν. Ἡ αὐτὴ δὲ ἔφοδος 244 ἐπὶ τῆς ἀνωτάτης τοῦ πύργου συναγωγῆς καὶ ἐπὶ τρίτου καὶ τετάρτου καὶ τοῦ τυχόντος μέρους ἀεὶ τοῖς ἐπιζητοῦσιν ἔστω. Τὰς δὲ τῶν στεγῶν διαιρέσεις καὶ τὰ πρὸς ὕψος ἀναστήματα οἱ μὲν περὶ ∆ιάδην καὶ Χαρίαν πρὸς πήχεις ἀριθμοῦντες τὴν ἐκ τῆς κάτωθεν βάσεως πρώτην στέγην πηχῶν πρὸς ὕψος ἐτίθουν ˉζ καὶ δακτύλων ˉιˉβ. τὰς δ' ἀνωτέρας πέντε ἀνὰ πηχῶν ˉε μόνον· τὰς δ' ὑπολειπομένας ἀνὰ τεσσάρων καὶ τρίτου, τό τε σύμπαχον τοῦ καταστρώματος τῶν στεγῶν καὶ τὸ κάτωθεν τοῦ ἐσχαρίου σὺν τῷ ἄνωθεν ἀετώματι τῷ ὕψει συνηρίθμουν. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ἐλάσσονος πύργου ἡ διαίρεσις τῶν στεγῶν τὸν αὐτὸν λόγον πρὸς ὕψος ἐλάμβανεν. Ὁ δὲ ῥηθεὶς Ἀπολλόδωρος, πρὸς πόδας καταριθμῶν τὸν πύργον, τοὺς ἐκ τῆς βάσεως πρώτους παραστάτας ποδῶν ˉθ πρὸς ὕψος ποιεῖ· καὶ εἰ μὲν ἰσοϋψεῖς πάντας βούλεται, ἑξάστεγον αὐτὸν δηλοῖ καὶ ποδῶν μόνων τὴν παρέμβασιν εἶναι· τρίτον δὲ καὶ εἰκοστὸν ἔγγιστα τοῦ ἐμβαδοῦ τῆς βάσεως ἐπισυνάγειν ἄνωθεν ἀνὰ ˉι ποδῶν καὶ τὰ ἀνώτερα τιθεὶς ζυγά. εἰ δὲ τὸ πέμπτον τῆς βάσεως ἐπὶ ἑξαστέγου πύργου ἐπισυνάγει ἄνωθεν, ἑνὸς καὶ ἡμίσεως ποδὸς τὴν τῶν στεγῶν ἐπέμβασιν τετραμερῶς συμφαίνει· εἰ δὲ καὶ δεκάστεγον, ἀνὰ ποδὸς ἑνὸς τὴν παρέμβασιν, ὡς προείρηται, καὶ πέμπτον τῆς βάσεως ἀπολαμβάνειν ἄνωθεν, ὡς ἂν καὶ τὰ ἀνώ245 τερα ζυγὰ ἀνὰ ποδῶν ˉζ καὶ μέρους ἕκτου ποιεῖν. καὶ ἐπὶ μὲν δεκαστέγου τοὺς κάτωθεν παραστάτας ἀνὰ ποδῶν ˉθ γίνεσθαι, τοὺς δὲ ἐπὶ ταῖς ἀνωτέραις τέτρασι στέγαις ἀνὰ ποδῶν ˉ μόνων, τοὺς δ' ἔτι ἀνωτέρους ἐπὶ ταῖς ὑπολοίποις τέτρασιν ἀνὰ ˉε καὶ μέρους. Οὕτως οὖν οὐ μόνον αἱ κατ' ἀριθμὸν διαφέρουσαι τῶν πύργων στέγαι πρὸς ˉξ ποδῶν ὕψος ἰσοϋψεῖς εὑρεθήσονται, ἀλλὰ καὶ οἱ ἐξ ἀμφοτέρων πρὸς πήχεις καὶ πόδας κατασκευαζόμενοι πύργοι καὶ κατὰ μέγεθος διαφέροντες σύμμετροι πρὸς ἀλλήλους κατὰ ἀναλογίαν δειχθήσονται. Εἰ γὰρ ὁ πῆχυς ˉκˉδ κατὰ μῆκός ἐστι δακτύλων, τοῦ ποδὸς ˉιˉ ὄντος, ἔχει δὲ ὁ ˉκˉδ τὸν ˉιˉ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ, ἡμιόλιος αὐτοῦ ἐστιν, ὑφημιόλιος δὲ πρὸς πῆχυν ὁ πούς·