Lectio 12

Posita definitione infiniti, hic ex definitione assignata assignat rationem eorum quae de infinito dicuntur.

Et primo eius quod dicitur de appositione et divisione infiniti; secundo eius quod infinitum in diversis secundum ordinem invenitur, ibi: infinitum autem non idem est etc.; tertio eius quod mathematici utuntur infinito, ibi: non removet autem ratio etc.; quarto eius quod infinitum ponitur principium, ibi: quoniam autem causae etc..

Circa primum duo facit: primo assignat rationem eius quod dicitur de infinito, circa divisionem vel appositionem in magnitudinibus; secundo eius quod dicitur in numeris, per comparationem ad magnitudines, ibi: rationabiliter autem est etc..

Dictum est autem supra quod appositio in infinitum sic invenitur in magnitudinibus, quod tamen non exceditur per hoc quaecumque determinata magnitudo. Sed divisio in infinitum sic invenitur in magnitudinibus, quod dividendo transitur quaecumque quantitas in minus, ut supra expositum est.

Hoc autem secundum rationem dicit accidere: quia cum infinitum habeat rationem materiae, continetur intus sicut materia: illud autem quod continet, est species et forma. Manifestum est autem ex iis quae dicta sunt in secundo, quod totum habet rationem formae, partes autem rationem materiae.

Cum ergo in magnitudinibus a toto itur ad partes per divisionem, rationabile est quod ibi nullus terminus inveniatur, qui non transcendatur per infinitam divisionem. Sed in additione itur a partibus ad totum, quod habet rationem formae continentis et terminantis: unde rationabile est quod sit aliqua determinata quantitas, quam infinita appositio non transcendat.

Deinde cum dicit: rationabiliter autem est etc., assignat rationem de infinito in numeris, per comparationem ad magnitudines.

Dicitur enim quod in numero invenitur aliquis terminus in minus, quem non est dividendo transcendere: sed non invenitur aliquis terminus in plus; quia quolibet numero est invenire alium maiorem per additionem. In magnitudinibus autem est e converso, ut dictum est.

Et huius rationem assignat; et primo quidem quare in numeris aliquis terminus invenitur, qui in minus non transcenditur dividendo.

Huius autem ratio est, quia omne unum, inquantum unum, est indivisibile, sicut homo indivisibilis est unus homo et non multi. Quemlibet autem numerum oportet resolvere in unum: quod patet ex ipsa ratione numeri. Numerus enim hoc significat, quod sint aliqua plura uno: quaelibet autem plura excedentia unum plus vel minus, sunt determinatae species numerorum. Unde cum unum sit de ratione numeri, et de ratione unius sit indivisibilitas, sequitur quod divisio numeri stet in termino indivisibili.

Quod autem dixerat, quod de ratione numeri sit quod sint plura uno, manifestat per species; quia duo et tria et quilibet alius numerus denominatur ab uno. Unde dicitur in V metaphys. Quod substantia senarii est in hoc quod sit sexies unum, non autem in hoc quod sit bis tria vel ter duo: quia sequeretur quod unius rei essent plures definitiones et plures substantiae; quia ex diversis partibus diversimode consurgit unus numerus.

Deinde cum dicit: in plus autem semper est intelligere etc., assignat causam quare in numeris additio excedit omnem determinatam multitudinem.

Et dicit quod possumus semper intelligere quolibet numero dato alium maiorem, per hoc quod magnitudo dividitur in infinitum.

Manifestum est enim quod divisio causat multitudinem: unde quanto plus dividitur magnitudo, tanto maior multitudo consurgit; et ideo ad infinitam divisionem magnitudinum sequitur infinita additio numerorum. Et ideo sicut infinita divisio magnitudinis non est in actu sed in potentia, et excedit omne determinatum in minus, ut dictum est; ita additio numerorum infinita non est in actu sed in potentia, et excedit omnem determinatam multitudinem. Sed hic numerus, qui sic in infinitum multiplicatur, non est numerus separatus a decisione magnitudinum.

Circa quod sciendum est quod divisio, ut dictum est, multitudinem causat.

Est autem duplex divisio: una formalis, quae est per opposita; et alia secundum quantitatem.

Prima autem divisio causat multitudinem, quae est de transcendentibus, secundum quod ens dividitur per unum et multa: sed divisio continuae quantitatis causat numerum, qui est species quantitatis, inquantum habet rationem mensurae. Et hic numerus multiplicabilis est in infinitum, sicut et magnitudo divisibilis est in infinitum: sed multitudo quae sequitur divisionem formalem rerum, non multiplicatur in infinitum; sunt enim determinatae species rerum, sicut et determinata quantitas universi.

Et ideo dicit quod hic numerus, qui multiplicatur in infinitum, non separatur a divisione continui.

Neque tamen hic numerus sic est infinitus, sicut aliquid permanens, sed sicut semper in fieri existens, inquantum successive additur supra quemlibet numerum datum; sicuti etiam est de tempore et de numero temporis. Numerus enim temporis crescit successive per additionem diei ad diem, non quod omnes dies sint simul.

Deinde cum dicit: in magnitudinibus autem etc., ostendit quod e contrario est in magnitudinibus.

Dividitur enim continuum in infinitum, ut dictum est. Sed in maius non procedit in infinitum etiam secundum potentiam, quia quantum unumquodque est in potentia, tantum potest esse in actu. Si igitur esset in potentia naturae quod cresceret aliqua magnitudo in infinitum, sequeretur quod esset aliqua magnitudo sensibilis infinita; quod est falsum, ut supra dictum est. Relinquitur igitur quod non est in potentia additio magnitudinum in infinitum sic quod excedatur omnis determinata quantitas: quia sequeretur quod esset aliquid maius caelo.

Ex quo patet falsum esse, quod quidam dicunt, quod in materia prima est potentia ad omnem quantitatem: non enim est in materia prima potentia nisi ad determinatam quantitatem.

Patet etiam ex praemissis ratio quare non oportet numerum tantum esse in actu, quantum est in potentia, sicuti hic dicitur de magnitudine: quia additio numeri sequitur divisionem continui, per quam a toto itur ad id quod est in potentia ad numerum. Unde non oportet devenire ad aliquem actum finientem potentiam. Sed additio magnitudinis ducit in actum, ut dictum est.

Commentator autem assignat aliam rationem: quia potentia ad additionem magnitudinis est in una et eadem magnitudine; sed potentia ad additionem numerorum est in diversis numeris, inquantum cuilibet numero potest aliquid addi.

Sed haec ratio parum valet, quia sicut per additionem est alia et alia species numeri, ita alia et alia species mensurae, secundum quod bicubitum et tricubitum dicuntur species quantitatis.

Et etiam quidquid additur superiori numero, additur inferiori; et secundum hoc in uno et eodem numero, scilicet binario vel ternario, est potentia ad infinitam additionem.

Deinde cum dicit: infinitum autem non idem est etc., ostendit quomodo infinitum inveniatur diversimode in diversis.

Et dicit quod infinitum non est secundum eandem rationem in motu et in magnitudine et tempore, ac si esset una natura univoce praedicata de eis: sed dicitur de posteriori eorum secundum prius, sicut de motu propter magnitudinem, in qua est motus, vel localis vel alterationis vel augmenti; de tempore autem propter motum. Et hoc ideo quia infinitum competit quantitati, motus autem est quantus secundum magnitudinem, et tempus propter motum, ut infra patebit. Et ideo dicit quod nunc utimur his, sed posterius manifestabitur de unoquoque eorum quid sit, et quod omnis magnitudo sit divisibilis in magnitudines.

Deinde cum dicit: non removet autem ratio mathematicos etc., ostendit quomodo mathematici utuntur infinito.

Et dicit quod ratio praedicta, qua ponimus non esse magnitudinem infinitam in actu, non removet considerationem mathematicorum, qui utuntur infinito; puta cum geometra dicit, sit talis linea infinita. Non enim indigent ad suam demonstrationem infinito in actu, neque eo utuntur: sed solum indigent quod sit aliqua linea finita tanta quanta est eis necessaria, ut ex ea possint subtrahere quod volunt. Et ad hoc sufficit quod aliqua maxima magnitudo sit; quia alicui maximae magnitudini competit, quod possit dividi secundum quantamcumque proportionem respectu alterius magnitudinis datae. Unde ad demonstrandum non differt utrum sit hoc modo vel illo, scilicet vel infinita vel finita maxima quantitas. Sed quantum ad esse rei multum differt, utrum sit vel non sit.

Deinde cum dicit: quoniam autem causae divisae sunt etc., ostendit quomodo infinitum sit principium.

Et dicit quod cum sint quatuor genera causarum, ut supra dictum est, patet ex praemissis quod infinitum est causa sicut materia: infinitum enim habet esse in potentia, quod est proprium materiae. Sed materia quidem quandoque est sub forma, quandoque autem sub privatione. Infinito autem non competit ratio materiae secundum quod est sub forma, sed secundum quod est sub privatione: quia scilicet infinitum dicitur per remotionem perfectionis et termini. Et propter hoc subiungit quod ipsi infinito esse est privatio, idest ratio infiniti in privatione consistit.

Et ne aliquis intelligat quod infinitum est materia sicut materia prima, subiungit quod per se subiectum privationis, quae constituit rationem infiniti, est continuum sensibile.

Et hoc apparet, quia infinitum quod est in numeris causatur ex infinita divisione magnitudinis; et similiter infinitum in tempore et motu causatur ex magnitudine: unde relinquitur quod primum subiectum infiniti sit continuum.

Et quia magnitudo secundum esse non est separata a sensibilibus, sequitur quod subiectum infiniti sit sensibile.

Et in hoc etiam concordant omnes antiqui, qui utuntur infinito sicut principio materiali.

Unde inconveniens fuit quod attribuerunt infinito continere, cum materiae non sit continere, sed magis contineri.