Lectio 5

Postquam philosophus divisit mutationem et motum in suas species, hic procedit ad determinandum de unitate et contrarietate motus in suas species.

Et circa hoc duo facit: primo praemittit quaedam necessaria ad sequentia; secundo prosequitur principale propositum, ibi: unus autem motus etc..

Circa primum tria facit: primo dicit de quo est intentio; secundo exequitur propositum, ibi: simul igitur etc., tertio recapitulat, ibi: quid quidem igitur etc..

Dicit ergo primo, quod dicendum est post praedicta, quid est simul, et quid est extraneum vel separatum, et quid est tangere, et quid est medium, et quid consequenter, et quid habitum, et quid continuum, et in quibus haec nata sunt esse.

Praemittit autem haec, quia horum definitionibus utitur in demonstrationibus consequentibus per totum librum; sicut et in principio euclidis ponuntur definitiones, quae sunt sequentium demonstrationum principia.

Deinde cum dicit: simul igitur dicuntur haec etc., exequitur propositum.

Ea primo definit quae praemissa sunt; secundo comparat ea ad invicem, ibi: manifestum autem et quod primum etc..

Circa primum tria facit: primo definit ea quae pertinent ad tangere; secundo ea quae pertinent ad hoc quod est consequenter, ibi: medium vero etc.; tertio ea quae pertinent ad continuum, ibi: continuum autem etc..

Et quia in definitione eius quod est tangere, ponitur simul, ideo primo definit ipsum: et dicit quod illa dicuntur esse simul secundum locum, quae sunt in uno loco primo; et dicitur primus locus uniuscuiusque, qui est proprius locus eius. Ex hoc enim aliqua dicuntur esse simul, quod sunt in uno loco proprio: non autem ex hoc quod sunt in uno loco communi; quia secundum hoc posset dici quod omnia corpora essent simul, quia omnia continentur sub caelo.

Dicit autem quod simul dicuntur haec esse secundum locum, ad differentiam eorum quae dicuntur esse simul tempore: hoc enim non est nunc ad propositum.

Per oppositum autem dicuntur esse separatim vel seorsum, quaecumque sunt in alio et alio loco.

Tangere autem se dicuntur, quorum sunt ultima simul. Ultima autem corporum sunt superficies, et ultima superficierum sunt lineae, et ultima linearum sunt puncta. Si ergo ponatur quod duae lineae se tangant in suis ultimis, duo puncta duarum linearum se tangentium continebuntur sub uno puncto loci continentis. Nec propter hoc sequitur quod locatum sit maius loco: quia punctum additum puncto nihil maius efficit. Et eadem ratione se habet in aliis.

Deinde cum dicit: medium vero in quod aptum etc., definit ea quae pertinent ad hoc quod consequenter se habet.

Et circa hoc tria facit: primo definit medium, quod ponitur in definitione eius quod est consequenter; secundo definit hoc quod est consequenter, ibi: consequenter autem est etc.; tertio infert quoddam corollarium ex dictis, ibi: quoniam autem omnis mutatio etc..

Dicit ergo primo, quod medium est, in quod primo aptum natum est pervenire id quod continue mutatur secundum naturam, quam in ultimum terminum motus, in quem mutatur: sicut si aliquid mutatur de a in c per b, dummodo sit continuus motus, primo pervenit ad b, quam ad c.

Medium autem potest quidem esse in pluribus; quia inter duo extrema possunt esse multa media, sicut inter album et nigrum sunt multi colores medii: sed ad minus oportet quod sit in tribus, quorum duo sunt extrema, et unum medium. Sic igitur medium est per quod in mutatione pervenitur ad ultimum; sed ultimum mutationis est contrarium. Dictum est enim supra quod motus est de contrario in contrarium.

Et quia in definitione medii posuerat continuationem motus, consequenter ostendit quid dicatur continue moveri.

Potest autem continuatio motus ex duobus attendi: et ex tempore in quo movetur, et ex re per quam transit, sicut est magnitudo in motu locali.

Ad hoc igitur quod sit motus continuus, requiritur quod nulla interpolatio sit in tempore: quia quantumcumque modicum interpolaretur motus secundum tempus, non esset continuus.

Sed ex parte magnitudinis per quam transit motus, potest esse aliqua modica interpolatio sine praeiudicio continuationis motus; sicut patet in transitibus viarum, in quibus ponuntur lapides modicum ab invicem distantes, per quos homo transit de una parte viae ad aliam, motu continuo.

Hoc est ergo quod dicit, quod continue movetur illud quod nihil aut paucissimum deficit rei, idest quod non habet interpolationem ex parte rei per quam transit; aut si deficit, paucissimum deficit. Sed temporis non potest nec paucissimum deficere, si sit motus continuus.

Quomodo autem res possit deficere in motu continuo, manifestat, subdens quod nihil prohibet aliquod moveri continue cum defectu rei, sed non temporis; sicut si aliquis citharizans, statim post hypaten, idest primam chordam gravem, sonet ultimam acutam, intermissis quibusdam chordis in medio. Sed iste defectus est rei in qua est motus, non autem temporis.

Hoc autem quod dictum est de continuitate motus, intelligendum est tam in motu locali, quam in aliis motibus.

Sed quia non est manifestum quomodo ultimum in motu locali sit contrarium, quia locus non videtur esse contrarius loco, ideo hoc manifestat.

Et dicit quod contrarium secundum locum est, quod plurimum distat secundum lineam rectam. Et intelligendum est plurimam distantiam esse secundum comparationem ad motum et mobilia et moventia: sicut maxime distant secundum locum per comparationem ad motum gravium et levium, centrum et extremitas caeli quoad nos; secundum autem motum meum vel tuum, maxime distat id quo intendimus ire, ab eo a quo incepimus moveri.

Quid autem sibi velit quod dixit secundum rectitudinem, exponit subdens, minima enim finita etc..

Ad cuius intellectum considerandum est, quod minima distantia quae est inter quaecumque duo puncta signata, est linea recta, quam contingit esse unam tantum inter duo puncta. Sed lineas curvas contingit in infinitum multiplicari inter duo puncta, secundum quod duae lineae curvae accipiuntur ut arcus maiorum vel minorum circulorum. Et quia omnis mensura debet esse finita (alias non posset certificare quantitatem, quod est proprium mensurae), ideo distantia maxima quae est inter duo, non potest mensurari secundum lineam curvam, sed solum secundum lineam rectam, quae est finita et determinata.

Deinde cum dicit: consequenter autem est etc., definit hoc quod est consequenter, et quandam speciem eius, scilicet habitum.

Et dicit quod ad hoc quod aliquid dicatur esse consequenter ad alterum, duo requiruntur.

Quorum unum est, quod sit post aliquod principium quodam ordine; vel secundum positionem, sicut in iis quae habent ordinem in loco; vel secundum speciem, sicut dualitas est post unitatem; vel quocumque alio modo aliqua determinate ordinentur, sicut secundum virtutem, secundum dignitatem, secundum cognitionem, et huiusmodi.

Aliud quod requiritur est, quod inter id quod est consequenter, et id cui est consequenter, non sit aliquod medium de numero eorum quae sunt in eodem genere: sicut linea consequenter se habet ad lineam, si nulla linea sit in medio; et similiter est de unitate ad unitatem, et de domo ad domum.

Sed nihil prohibet, ad hoc quod aliquid sit alteri consequenter, quin aliquid sit medium inter ea alterius generis; sicut si aliquod animal sit medium inter duas domus.

Quare autem dixerit et cuius est consequenter, et quod est post principium, manifestat subdens, quod omne quod dicitur consequenter, est consequenter respectu alicuius, et non tanquam prius, sed tanquam posterius. Non enim dicitur quod unum sit consequenter duobus, neque nova luna secundae, sed e converso.

Deinde definit quandam speciem eius quod est consequenter, quae dicitur habitum. Et dicit quod non omne quod est consequenter, est habitum; sed quando sic est consequenter, quod tangit; ita quod nihil sit medium, non solum eiusdem generis, sed nec alterius.

Deinde cum dicit: quoniam autem omnis mutatio etc., concludit ex praemissis quod, cum medium sit per quod aliquid mutatur in ultimum, et omnis mutatio sit inter opposita, quae vel sunt contraria vel contradictoria, in contradictoriis autem nihil est medium; relinquitur quod omne medium sit inter contraria aliquo modo.

Deinde cum dicit: continuum autem est quidem etc., manifestat quid sit continuum: et dicit quod continuum est aliqua species habiti. Cum enim unus et idem fiat terminus duorum quae se tangunt, dicitur esse continuum.

Et hoc etiam significat nomen. Nam continuum a continendo dicitur: quando igitur multae partes continentur in uno, et quasi simul se tenent, tunc est continuum. Sed hoc non potest esse cum sint duo ultima, sed solum cum est unum.

Ex hoc autem ulterius concludit, quod continuatio esse non potest, nisi in illis ex quibus natum est unum fieri secundum contactum.

Ex eadem enim ratione aliquod totum est secundum se unum et continuum, ex qua ex multis fit unum continuum, vel per aliquam conclavationem, vel per aliquam incollationem, vel per quemcumque modum contingendi, ita quod fiat unus terminus utriusque; vel etiam per hoc quod aliquid naturaliter nascitur iuxta aliud, sicut fructus adnascitur arbori et continuatur quodammodo ei.

Deinde cum dicit: manifestum autem et quod primum etc., comparat tria praemissorum ad invicem, de quibus principaliter intendit, scilicet consequenter se habens, contactum et continuum.

Et circa hoc tria facit: primo comparat consequenter se habens ad contactum; secundo contactum ad continuum, ibi: et si continuum etc.; tertio infert quoddam corollarium ex dictis, ibi: quare si est unitas etc..

Dicit ergo primo manifestum esse, quod consequenter se habens est primum inter tria praemissa ordine naturae, secundum quod dicitur esse prius, a quo non convertitur consequentia essendi; quia omne contactum necesse est esse consequenter: oportet enim inter ea quae se contingunt, esse aliquem ordinem, ad minus positione. Sed non oportet omne quod consequenter se habet, esse tangens: quia ordo potest esse in quibus non est tactus, sicut in separatis a materia.

Unde hoc quod est consequenter, invenitur in iis quae sunt priora secundum rationem: invenitur enim in numeris, in quibus non invenitur tactus, qui invenitur solum in continuis.

Numeri autem secundum rationem sunt priores continuis quantitatibus, sicut magis simplices et magis abstracti.

Deinde cum dicit: et si continuum est etc., comparat contactum ad continuum.

Et dicit quod eadem ratione contactum est prius quam continuum: quia si aliquid est continuum, necesse est quod sit tangens; sed non est necessarium, si tangit quod sit continuum.

Et hoc probat per rationem utriusque. Non enim necessarium est quod ultima aliquorum sint unum, quod est de ratione continui, si sunt simul, quod est de ratione contacti: sed necesse est e converso, si ultima sunt unum, quod sint simul, ea ratione qua potest dici, quod unum sit simul sibi ipsi.

Si autem hoc quod dico simul, importat habitudinem distinctorum, non possunt esse unum quae sunt simul: et secundum hoc nec contacta esse possunt quae sunt continua, sed communiter accipiendo. Unde concludit quod insertus, idest continuatio secundum quam una pars inseritur alteri in uno termino, est ultimus in ordine generationis, prout specialia sunt posteriora communibus, sicut prius generatur animal quam homo. Et ideo dico esse ultimum insertum, quia necesse est aliqua se tangere ad invicem, si ultima eorum sunt adnata, idest naturaliter unita; sed non est necessarium quod omnia quae se tangunt, quod sint naturaliter adnata ad invicem. Sed in quibus non potest esse contactus, manifestum est quod in his non potest esse consertus, idest continuatio.

Deinde cum dicit: quare si est unitas etc., concludit quoddam corollarium ex dictis; scilicet quod si unitas et punctum sunt separata, sicut quidam dicunt, ponentes mathematica separari secundum esse, sequitur quod unitas et punctum non sunt idem.

Et hoc manifestum fit duabus rationibus.

Primo quidem, quia puncta sunt in his quae nata sunt se tangere, et secundum puncta aliqua se tangunt ad invicem: in unitatibus autem non invenitur contactus, sed solum hoc quod est consequenter. Secundo vero, quia inter duo puncta contingit esse aliquid medium; omnis enim linea est media inter duo puncta: sed inter duas unitates non necesse est esse aliquod medium. Patet enim quod inter duas unitates, quae constituunt dualitatem, et ipsam primam unitatem, nihil est medium.

Ultimo ibi: quid quidem igitur est simul etc., epilogat quae dicta sunt: et est planum in littera.