CAPUT V.

Quod medium in distribuendis juxta proportionem geometricam accipi debet.

Est ergo justum proportionale quid. Quamvis enim de proportione solus tractet arithmeticus et geometer in quantum linea numerus est, et in quantum demonstratio transit de genere in genus : tamen proportionale quod quocumque modo formam proportionis participat, non solum est monadici numeri proprium, hoc est, numeri formalis qui ex monadibus rerum communitatibus coacervatur, sed est totaliter numeri, hoc est, rerum numeratarum formam numeri quocumque modo participantium.

Ad intellectum autem consequentium, oportet scire quod proportio est similitudo habitudinum, sicut si dicam, sicut se habet rector navis ad navem, ita rector civitatis, ad civitatem, in hoc scilicet, quod uterque eorum non sorte sed arte eligitur : et in numeris, sicut se habent duo ad quatuor, ita se habent tria ad sex, in hoc scilicet quod utrumque est duplum et subdupluni.

Proportionalitas autem est similitudo proportionum, sicut si dicam, sicut est proportio inter duo et quatuor, et tria et sex, similem habens qualita- tem dupli: ita est proportio inter duo et tria, et quatuor et sex, similem habens qualitatem sexquialleri. Unde patet quod similitudo inter duo est, proportio inter quatuor, et proportionalitas inter octo, et aliquando inter decem, si producatur proportionalitas, ut non tantum attendatur inter partes et partes, sed etiam inter constitutum totum exprimo et secundo,et inter constitutum totum ex tertio et quarto. Sicut si dlicam quod similis est proportio duorum ad quatuor, et trium ad sex : et similis duorum ad tria, et quatuor ad sex : et quod in eadem proportione est constitutum, ex duobus et quatuor, ad constitutum ex. tribus et sex. Novem enim ad sex in sexquialtera proportione est, sicut duo ad tria, et quatuor ad sex.

Quinque enim genera proportionum sunt determinata in secundo Arithmeticae, scilicet proportio multiplicitatis, et proportio superparticularis, et proportio superpartientis, et proportio composita ex multiplici et superparticulari et proportio composita ex multiplici et superpartienti. Composita enim ex superparlicuiari et superpartienti esse non potest : quia non habet unde accipiat. A nulla enim una parte incipere potest ut sit superparticularis : nec enim a media, nec a tertia, nec de quarta : sed deinceps incipere potest : sed incipit a duabus tertiis. Propter quod etiam vocatur in prima ejus specie superbipartienstertias, et secundo supcrtripartienstertias, et superquadripartienstertias, et sic deinceps.

Proportio multiplicitatis est, sicut si in uno ordine disponamus unum, duo, quatuor, octo, sedecim, et sic deinceps : in omnibus enim est proportio dupli, quae prima species est multiplicis. Habet autem multas species, scilicet tripli, quadriipli, quintupli et sic deinceps : quarum proportionum dispositio facilis est. Triplici enim est, sicut unum, tria, novem, viginti septem, et sic deinceps.

Quadrupli autem, sicut unum, quatuor, sedecim, sexaginta quatuor, et sic deinceps. Quintupli autem, sicut unum, quinque, viginti quinque, centum viginti quinque, et sic deinceps : et similiter in aliis disponere facile est. Et generaliter dicendo omnis numerus talium in proportione multiplicis est qui aliquoties totus est in ipso , et nihil amplius.

Proportio autem superparticularis est duorum numerorum vel plurium continens semel numerum et aliquotam ejus partem : et illius dispositio est, sicut duo, tria, quatuor, sex, novem. Tria enim continet duo et alteram ejus partem, altera autem dimidia : et eodem modo sex continet quatuor et alteram, et novem continet sex et alteram, et sic deinceps. Unde ista proportio sexquialtera vocatur, et Graece vocatur emiolia ab AdminBookmark quod est dimidium , et AdminBookmark quod est totum : quia continet totum et dimidium. Sicut dicitur sesquitertia, quae totum continet et tertiam, et sequi quarta quae totum et quartam, et sequi quinta, et sic deinceps. Superparticularis autem ex hoc crescit quod continet totum numerum et duas ejus tertias, et dicitur superbipartiens qui continet totum et duas ejus tertias, supertripartiens qui continet totum et duas tertias ter, et superquadripartiens, et superquintupartiens, et sic deinceps in numero duarum et tertiarum ascendendo. Composita autem proportio ex multiplici et superparticulare sicut qui aliquoties continet totum numerum et aliquotam ejus partem, sicut se habet decem ad quatuor in multiplici sexquialtera ejus parte. Bis enim continet quatuor, et alteram ejus partem : et in utroque istorum, scilicet in continentia totius et continentia aliquotae crescit in infinitum. Multipliciter autem superpartiens est, qui continet aliquoties totum et aliquoties ejus duas tertias, sicut undecim ad tria se habet. Ter

enim continet ternarium et duas ejus tertias, et in hac aggregatione crescit in infinitum : et sic octo se habet ad tria quod bis continet ipsum et duas ejus tertias. Unde octo ad tria est in proportione dupli superbipartiens : undecim autem ad tria in proportione tripli superbipartientis. Ex hic patet quid est proportio et quid proportionalitas.

Proportionum autem quaedam est conjuncta, et quaedam disjuncta. Conjuncta autem dicitur, quae medio uno tertio bis utitur, sicut punctum continuans in linea, bis idem est in duplici ratione sumptum, scilicet finis et principii : sicut si dicam, sicut se habent duo ad quatuor, ita quatuor ad octo. Medius enim terminus idem est in duplici ratione : quatuor enim quod est medius terminus unus et idem in subjecta acceptus, ad duo est in ratione dupli, et ad octo in ratione subdupli. Disjuncta autem proportio est, quae a medio uno termino copulatur : sicut si dicam, sicut se habet duo ad quatuor, ita quinque ad decem : nullo enim uno termino medio qui ad primum et quartum referatur, copulatur.

Adhuc est proportio ordinata, et est proportio permutata. Proportio ordinata est, quae sine permutatione partium ordinata similitudine unius ad alterum attenditur : sicut si dicam, sicut tria ad quinque, ita sex ad decem. Permutata autem proportio est, quae est in ordine proportionis partium permutatione : sicut si dicam, sicut similis proportion est primi ad secundum et tertii ad quartum, ita similis proportio est primi ad tertium et secundi ad quartum, et totius constituti ex primo et secundo ad totum constitutum ex tertio et quarto. Cujus exemplum est in multiplicibus duo, quatuor, quinque, decem. Est enim proportio primi et secundi dupli, et similis illi proportio est tertii et quarti et permutatim, sicut proportio est primi ad tertium, hoc est, duo ad quinque. Similis est proportio quatuor ad decem, quae sunt secundum et quartum : in utrisque enim est proportio duplici sexquialteri Et similis proportio est inter constitutum ex duobus et quatuor, et constitutum ex quinque et decem. Sex enim est constitutum ex duobus et quatuor, quindecim autem ex quinque et decem. Quindecim autem ad sex in duplicis sexquialtera est proportione, sicut in permutata proportione fuit inter duo et quinque, et quatuor et decem. Aliud exemplum est in proportione sexquialtera, duo, tria, quatuor, sex : sicut enim duo ad tria, ita quatuor ad sex : utraque enim proportio sexquialtera est et permutatim : sicut duo ad quatuor, ita tria ad sex : utraque enim proportio dupli est: et sicut constitutum ex duobus et tribus quod est quinque,ad constitutum ex quatuor et sex quod est decem : decem enim ad quinque est in proportione dupli. Tertium exemplum est in superpartientibus, sicut sunt tria, quinque, sex, decum : sicut sunt tria ad quinque, ita sex ad decem : utraque enim proportio est superpartientis et permutatim : sicut tria ad sex, ita quinque ad decem : dupli enim est utraque proportio. Et eadem proportio est inter constitutum ex tribus et quinque, et constitutum ex sex et decem : sedecim enim ad octo etiam habet dupli proportionem.

Ex praedictis igitur patet quod proportionalitas aequalitas est proportionis, et quod proportio in quatuor est ad minus. Quod enim disjuncta proportio in quatuor sit, ex ipsa ratione disjunctionis manifestum est: tamen etiam conjuncta in quatuor est. Uno enim medio secundum substantiam utitur ut duobus : et ideo bis dicit ipsum referens ad primum, et referens ad quartum. Sicut si dicam, ut quae est proportio numeri sive quantitatis numeri qui ad eam quantitatem numeri quae est b, ita similis proportio est quantitatis numeri quae est b ad eam quae est G. In hac enim proportione quae est B, bis dicta est. Quare si b his ponatur quatuor erunt proportionata secundum

rationem proportionatorum, quamvis tria sint secundum substantiam.

Similiter autem et justum distributivum in quatuor est ad minus : et inter ea similis est proportio ei quae est in numeris. Quibus enim distribuitur et quae distribuuntur, similiter divisa sunt in quatuor proportionata, sicut dux et miles, et sors ducis et sors militis. Erit ergo talis proportio, sicut a terminus proportionatur ad b, hoc est, sors ducis ad ducem, ita G terminus proportionatur ad B, hoc est sors militis ad militem, et permutatim. Ergo sicut a se habet ad g, hoc est, sors ducis ad sortem militis, ita se habet b ad D, hoc est, dux ad militem. Propter quod et totum quod est sors ducis cum duce in simili proportione se habet ad totum, hoc est, ad sortem militis cum milite : haec enim distributio politica conjungit. Debita ergo conjunctio et proportionata termini a cum termino G in permutata proportione termini B cum termino d justum facit in distributione : et medium secundum hujusmodi proportionem acceptum est, et vocatur justum. Medium autem est proportionale, et est medium ejus quod est praeter proportionem : ergo justum medium. Diximus enim jam, quod justum proportionale est, cujus extrema sunt praeter proportionale in plus, et praeter proportionale in minus. Talem autem proportionem mathematici vocant geometricam, hoc est, acceptam secundum medium geometricum. In geometrica enim proportione hoc accipit, quod in eadem proportione se habet totum constitutum ex primo et secundo, ad totum constitutum ex tertio et quarto : sicut in permutata proportione, se habet ad alterum, hoc est, primum ad tertium et secundum ad quartum. Haec autem proportio sive proportionalitas est non continua. In distributionibus enim non potest continua proportio observari: eo quod uno numero terminus secundum substantiam non potest fieri ex duobus, scilicet ex eo cui distribuendum est, et ex eo quod distribuendum est. Patet igitur quod justum hoc quod distributivum est, proportionale est. Injustum autem, quod est praeter proportionale.

Injustum autem improportionale duplex est: quorum unum quidem sit in plus, aliud autem in minus. Quod et in operationibus personarum accidit ad ur-Danitat em relatis. Qui quidem enim injustum facit ultra dignitatem propriam accipiendo, plus habet in lucro quam dignum sit. Qui autem injusta passus est citra dignitatem accipiendo, minus habet boni distribuendi quam condignum sit. In malo autem damni e converso est: quoniam injustum faciens minus habet, et injustum patiens plus. Minus malum autem efficitur in boni ratione, sicut in antehabitis diximus,quando ad majus malum comparatur. Minus enim malum magis eligibile est majori malo : nihil autem eligibile est nisi bonum, et majus bonum magis eligibile. Cum igitur minus malum eligatur, oportet quod minus malum boni habeat rationem. Haec igitur est una species justi et justitiae quae distributiva justitia vocatur secundum geometricam medietatem accepta. In proportione enim medium geometricum vocatur, per quod proportionata reducuntur ad similem proportionis quantitatem, Inaequali remanente quantitate proportionatorum, sicut patet in exemplis superius Inductis, scilicet trium, quinque, et sex ad decem : quae omnia sunt unam proportionis qualitatem habentia in diversa quantitate : et in omnibus aliis exemplis inductis est similiter. Medium autem proportionis arithmeticae est, quo proportionata reducuntur ad aequalem quantitatem in dissimili qualitate proportionis, sicut sunt quinque, sex, septem : sex enim ad quinque sunt in proportione sexquinta, septem autem .ad sex in proportione sexquisexta : quae proportiones non sunt unius

qualitatis secundum speciem. Si autem. excessus in medio quantitatis attendatur, sex excedit quinque in uno, et a septem exceditur in uno : ablatum ergo a septem in quo excedit sex, et additum quinque quod iterato exceditur a sex, erunt sex, sex, sex, quae est aequalis quantitas in dissimili proportione : et hoc vocatur medium arithmeticum in mathematicis.