τοῦ τριγώνου δίχα τέμνονται πλευραί». Ἔστω γὰρ τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴν ἔχον τὴν Β γωνίαν. Καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ, τῷ ∆. Καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∆Ε. Καὶ διὰ τοῦ Ε, παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ. Λέγω ὅτι καὶ <αἱ> λοιπαὶ τοῦ τριγώνου πλευραὶ δίχα τέμνονται, ἡ μὲν ΑΓ κατὰ τὸ Ε, ἡ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Ζ. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ∆Ζ. Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Α∆ τῇ ∆Β, <ἡ δὲ ∆Β τῇ ΕΖ>, ἄρα ἡ Α∆ τῇ ΕΖ ἴση καὶ παράλληλος. Αἱ δὲ ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. Ἀλλὰ καὶ αἱ ∆Ε ΖΓ παραλληλόγραμμον τὸ ΓΕ∆Ζ. Ἴση ἄρα ἡ ∆Ζ τῇ ΕΓ. Ἀλλὰ καὶ τῇ ΑΕ ἦν ἴση. <Ἡ ΕΓ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἴση>. Πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερον τῶν Β∆ ΕΖ, ΓΕ ∆Ζ παραλληλόγραμμον, ἡ ∆Ε ἄρα ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΖ ΖΓ· ἀπεναντίον γάρ. Ὥστε καὶ αἱ ΒΖ ΖΓ ἴσαι εἰσίν. Εἰσὶν αἱ ἀποδείξεις καὶ κατὰ παντὸς τριγώνου. Ἀκολούθως δὴ τοῖσδε ποταμοῦ πλάτος ἐκ διαστήματος μετρηθήσεται. Ἔστωσαν ὄχθαι, καταντικρὺ μὲν ἣ τῶν πολεμίων ἐφ' ᾗ σημεῖον τὸ Α, ἣ δὲ πρὸς ἡμᾶς ἡ ΦΗ. Πήγνυται διόπτρα ἐν χώρᾳ τῇ πρὸς ἡμᾶς ἡ σχιστή, κατὰ τὸ Ι, οὕτως ὥστε τὸ διάστημα τὸ τοῦ Ι μέχρι τῆς πρὸς ἡμᾶς ὄχθης τοῦ ποταμοῦ μεῖζον εἶναι τοῦ ποταμοῦ. Τοῦτο δὲ ῥᾴδιον στοχάσασθαι. Καὶ πρὸς ὀρθὰς δύο σημεῖα κατοπτεύεται, ἓν μὲν ἐπὶ τῇ ὄχθῃ καταντικρύ, ἢ λίθος ἢ θάμνος ἤ τις ἄλλος εὐκάτοπτος σκοπός, καὶ ἔστω τὸ Α, τὸ δὲ ἕτερον τὸ πρὸς ἡμᾶς σημεῖον, ἐκ τῆς ἑτέρας τοῦ χιασμοῦ γραμμῆς, τὸ Υ. Τὴν δὲ διόπτραν μεταγαγὼν ἐπὶ τὸ Υ κατοπτεύω τὸ Α καὶ ποιῶ τρίγωνον ὀρθογώνιον. Τετμήσθω ἡ ΙΥ δίχα κατὰ τὸ Κ. Καὶ ἀπὸ τοῦ Κ, τῇ ΑΙ <ἤχθω> παράλληλος ἡ ΚΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ, τῇ ΙΥ παράλληλος ἡ ΘΡ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΙΥ ὀρθογωνίου ἡ ΙΥ δίχα τέτμηται τῷ Κ καὶ ἔστι παράλληλος ἡ ΘΚ τῇ ΑΙ <καὶ ἡ ΘΡ τῇ ΙΥ>, καὶ ἡ ΑΙ ἄρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ρ. Ἀποτιμᾶν δὴ τὸ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Ρ διάστημα. ∆έδοται ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ Α. Τούτου δ' ἀφελόντες τὸ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ Φ καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν, τοῦτ' ἔστι τὸ τοῦ ποταμοῦ πλάτος. Εἰ δέ τῳ ἐργῶδες εἶναι δόξει τὸ πλέον ἀποστάντα ἐπὶ τῆς ἡμεδαπῆς διάστημα λαβεῖν, ἀνάγκης ἐκεῖ τούτου γινομένης τὴν ὄψιν ἐπιταράττεσθαι <καὶ> συγχεῖσθαι τὸ γιγνόμενον, λάβοιμεν ἄν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς ὄχθης ἑστῶτες τοῦ ποταμοῦ, ῥᾳδίως τὸ μέγεθος τοῦ πλάτους τοῦτον τὸν τρόπον. Ἔστω γὰρ πάλιν ἐπὶ τοῦ καταντικρὺ μέρους εἰλημμένον σημεῖον τὸ Α. Ἐπὶ δὲ τοῦ πρὸς ἡμᾶς μέρους εἰλήφθω σημεῖον τὸ Β, ὥστε εἶναι τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῇ διὰ τῆς ὄχθης γραμμῇ, τῇ ΒΓ. Εἴληπται δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ, τὸ ∆, ἐφ' οὗ κανὼν κείσθω ὁ ∆Ε. Ἐπὶ δὲ τοῦ ἄκρου τοῦ κανόνος μετέωρος ἔστω γνώμων ὁ Ε, ὥστε, εἰ ὁ ∆Ε κανὼν τῆς τοῦ ὕδατος ἐπιφανείας ἅπτοιτο, ἐπιπολῆς εἶναι τὸν γνώμονα. Καὶ μέχρι τούτου ὁ κανών, πρὸς ὀρθὰς <τῇ ∆Ε>, τῇ ΒΓ παραφερέσθω, μέχρις οὗ ἀπό τινος <σημείου, τοῦ Γ>, ἐπὶ τῆς ΒΓ γραμμῆς, διὰ διόπτρας θεωρηθῇ σημεῖα τὰ ΕΑ. Καὶ ἔσται ἀνά λογον ὡς ΒΓ πρὸς Γ∆ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς Ε∆. ∆έδοται δὲ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς Γ∆ λόγος. ∆έδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ∆Ε. Καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ∆Ε. ∆οθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΒ. Τῷ δὲ αὐτῷ λόγῳ καὶ τείχους ὕψος ληφθήσεται ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ διαγράμματος ὀρθουμένου. Ἔστω τὸ μὲν ἄκρον τοῦ προμαχῶνος τὸ Α, βάσις δὲ τὸ Β, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ τείχους εἰς ἡμᾶς ἔξω βέλους γραμμὴ ΒΓ. Κρέμαται διόπτρα ἀπὸ κάμακος (ὃ δὴ «λυχνία» καλεῖται) πηγνυμένη πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Γ. Ἔστω δὴ γραμμὴ ὁ κάμαξ ∆Γ. Τὴν δὴ διόπτραν ἐπικλίνας, διοπτεύω τοῦ τείχους τὸ ἄκρον, ὅ ἐστιν Α. Καὶ μετελθὼν ἐπὶ τὸ ἕτερον ἀγγεῖον, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας λαμβάνω ση μεῖον <τὸ Ε. Καὶ ἔσται τρίγωνον> τὸ ΑΕΒ, καὶ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ παράλληλος ἡ Γ∆. Ὃν ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς Γ∆, τοῦτον ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ. ∆έδοται δὲ ὁ τῆς ΕΓ πρὸς Γ∆ λόγος· δέδοται γὰρ αὐτῶν ἑκατέρα. ∆έδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΕΒ πρὸς ΑΒ <λόγος. ∆έδοται δὲ καὶ ΕΒ>, ὡς ἐπὶ τοῦ ποταμοῦ δέδεικται. ∆οθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΑ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 1.16 Ἤχου κλοπή Ὀξύτατα πάντων ὁρῶσι Μαυρούσιοι καὶ τὸν προσιόντα γνωρίζουσι μακρόθεν καὶ ἀκούουσιν ἴσα, καίτοι τῆς ἀκοῆς βραδυτέρας οὔσης τοῦ βλέπειν. Ἀλλ' ἡ μὲν ὄψις αὐτοῖς ἀσκήσει καὶ φύσει μακρά· πρὸς γὰρ οἷς γυμνάζονται δρόμοις, ἀναπνέοντες