Lectio 17

Hic determinat philosophus de ad aliquid: et circa hoc duo facit.

Primo ponit modos eorum, quae sunt ad aliquid secundum se. Secundo eorum, quae sunt ad aliquid ratione alterius, ibi, illa vero quia sua genera.

Circa primum duo facit. Primo enumerat modos eorum, quae secundum se ad aliquid dicuntur. Secundo prosequitur de eis, ibi, dicuntur autem prima.

Ponit ergo tres modos eorum, quae ad aliquid dicuntur: quorum primus est secundum numerum et quantitatem, sicut duplum ad dimidium, et triplum ad tertiam partem, et multiplicatum, idest multiplex, ad partem multiplicati, idest ad submultiplex, et continens ad contentum.

Accipitur autem continens pro eo, quod excedit secundum quantitatem. Omne enim excedens secundum quantitatem continet in se illud quod exceditur. Est enim hoc et adhuc amplius; sicut quinque continet in se quatuor, et tricubitum continet in se bicubitum.

Secundus modus est prout aliqua dicuntur ad aliquid secundum actionem et passionem, vel potentiam activam et passivam; sicut calefactivum ad calefactibile, quod pertinet ad actiones naturales, et sectivum ad sectibile, quod pertinet ad actiones artificiales, et universaliter omne activum ad passivum.

Tertius modus est secundum quod mensurabile dicitur ad mensuram.

Accipitur autem hic mensura et mensurabile non secundum quantitatem (hoc enim ad primum modum pertinet, in quo utrumque ad utrumque dicitur: nam duplum dicitur ad dimidium, et dimidium ad duplum), sed secundum mensurationem esse et veritatis. Veritas enim scientiae mensuratur a scibili. Ex eo enim quod res est vel non est, oratio scita vera vel falsa est, et non e converso. Et similiter est de sensibili et sensu. Et propter hoc non mutuo dicuntur mensura ad mensurabile et e converso, sicut in aliis modis, sed solum mensurabile ad mensuram. Et similiter etiam imago dicitur ad id cuius est imago, tamquam mensurabile ad mensuram. Veritas enim imaginis mensuratur ex re cuius est imago.

Ratio autem istorum modorum haec est. Cum enim relatio, quae est in rebus, consistat in ordine quodam unius rei ad aliam, oportet tot modis huiusmodi relationes esse, quot modis contingit unam rem ad aliam ordinari. Ordinatur autem una res ad aliam, vel secundum esse, prout esse unius rei dependet ab alia, et sic est tertius modus. Vel secundum virtutem activam et passivam, secundum quod una res ab alia recipit, vel alteri confert aliquid; et sic est secundus modus. Vel secundum quod quantitas unius rei potest mensurari per aliam; et sic est primus modus.

Qualitas autem rei, inquantum huiusmodi, non respicit nisi subiectum in quo est. Unde secundum ipsam una res non ordinatur ad aliam, nisi secundum quod qualitas accipit rationem potentiae passivae vel activae, prout est principium actionis vel passionis. Vel ratione quantitatis, vel alicuius ad quantitatem pertinentis; sicut dicitur aliquid albius alio, vel sicut dicitur simile, quod habet unam aliquam qualitatem. Alia vero genera magis consequuntur relationem, quam possint relationem causare. Nam quando consistit in aliquali relatione ad tempus. Ubi vero, ad locum. Positio autem ordinem partium importat. Habitus autem relationem habentis ad habitum.

Deinde cum dicit dicuntur autem prosequitur tres modos enumeratos; et primo prosequitur primum. Secundo prosequitur secundum, ibi, activa vero et passiva. Tertio tertium, ibi, ergo secundum numerum.

Circa primum duo facit. Primo ponit relationes quae consequuntur numerum absolute.

Secundo ponit relationes quae consequuntur unitatem absolute, ibi, et amplius aequale.

Dicit ergo, quod primus modus relationum, qui est secundum numerum, distinguitur hoc modo: quia vel est secundum comparationem numeri ad numerum, vel numeri ad unum. Et secundum comparationem ad utrumque dupliciter: quia vel est secundum comparationem numeri indeterminate ad numerum, aut ad unum determinate. Et hoc est quod dicit, quod prima, quae dicuntur ad aliquid secundum numerum, aut dicuntur simpliciter, idest universaliter, vel indeterminate, aut determinate.

Et utrolibet modo ad eos, scilicet numeros. Aut ad unum, idest ad unitatem.

Sciendum est autem, quod omnis mensuratio, quae est in quantitatibus continuis, aliquo modo derivatur a numero. Et ideo relationes, quae sunt secundum quantitatem continuam, etiam attribuuntur numero.

Sciendum est etiam, quod proportio numeralis dividitur primo in duas; scilicet aequalitatis, et inaequalitatis.

Inaequalitatis autem sunt duae species; scilicet excedens et excessum, et magis et minus. Inaequale autem excedens in quinque species dividitur.

Numerus enim maior quandoque respectu minoris est multiplex; quando scilicet aliquoties continet ipsum, sicut sex continet duo ter. Et si quidem contineat ipsum bis, dicitur duplum; sicut duo ad unum vel quatuor ad duo. Si ter, triplum. Si quater, quadruplum. Et sic inde.

Quandoque vero numerus maior continet totum numerum minorem semel, et insuper unam aliquam partem eius. Et tunc dicitur superparticularis. Et si quidem contineat totum et medium, vocatur sesquialterum, sicut tria ad duo. Si autem tertiam, sesquitertius, sicut quatuor ad tria.

Si quartam, sesquiquartus, sicut quinque ad quatuor. Et sic inde.

Quandoque numerus maior continet minorem totum semel; et insuper non solum unam partem, sed plures partes.

Et sic dicitur superpartiens. Et si quidem contineat duas partes, dicitur superbipartiens, sicut quinque se habent ad tria. Si vero tres, dicitur supertripartiens, sicut septem se habent ad quatuor. Si autem quatuor, sic est superquadripartiens; et sic se habet novem ad quinque. Et sic inde.

Continet totum minorem pluries, et insuper aliquam partem eius; et tunc dicitur multiplex superparticularis. Et si quidem contineat ipsum bis et mediam partem eius, dicitur duplum sesquialterum, sicut quinque ad duo. Si autem ter et mediam partem eius, vocabitur triplum sesquialterum, sicut se habent septem ad duo. Si autem quater et dimidiam partem eius, dicitur quadruplum sesquialterum, sicut novem ad duo. Possent etiam ex parte superparticularis huiusmodi proportionis species sumi, ut dicatur duplex sesquitertius, quando maior numerus habet minorem bis et tertiam partem eius, sicut se habent septem ad tria: vel duplex sesquiquartus, sicut novem ad quatuor, et sic de aliis.

Quandoque etiam numerus maior habet minorem totum pluries, et etiam plures partes eius, et tunc dicitur multiplex superpartiens. Et similiter proportio potest dividi secundum species multiplicitatis, et secundum species superpartientis, si dicatur duplum superbipartiens, quando habet maior numerus totum minorem bis et duas partes eius, sicut octo ad tria. Vel etiam triplum superbipartiens, sicut undecim ad tres. Vel etiam duplum supertripartiens, sicut undecim ad quatuor.

Habet enim totum bis, et tres partes eius.

Et totidem species sunt ex parte inaequalitatis eius qui exceditur. Nam numerus minor dicitur submultiplex, subparticularis, subpartiens, submultiplex subparticularis, submultiplex subpartiens, et sic de aliis.

Sciendum autem quod prima species proportionis, scilicet multiplicitas, consistit in comparatione unius numeri ad unitatem. Quaelibet enim eius species invenitur primo in aliquo numero respectu unitatis. Duplum primo invenitur in binario respectu unitatis. Et similiter proportio tripli in ternario respectu unitatis, et sic de aliis. Primi autem termini in quibus invenitur aliqua proportio, dant speciem ipsi proportioni. Unde in quibuscumque aliis terminis consequenter inveniatur, invenitur in eis secundum rationem primorum terminorum. Sicut proportio dupla primo invenitur inter duo et unum.

Unde ex hoc proportio recipit rationem et nomen. Dicitur enim proportio dupla proportio duorum ad unum. Et propter hoc, si etiam unus numerus respectu alterius numeri sit duplus, tamen hoc est secundum quod minor numerus accipit rationem unius, et maior rationem duorum. Sex enim se habet in dupla proportione ad tria, inquantum tria se habent ad sex ut unum ad duo. Et simile est in tripla proportione, et in omnibus aliis speciebus multiplicitatis.

Et ideo dicit, quod ista relatio dupli, est per hoc quod numerus determinatus, scilicet duo, refertur ad unum, idest ad unitatem.

Sed hoc quod dico, multiplex, importat relationem numeri ad unitatem; sed non alicuius determinati numeri, sed numeri in universali. Si enim determinatus numerus accipiatur ut binarius vel ternarius, esset una species multiplicitatis, ut dupla vel tripla. Sicut autem duplum se habet ad duo, et triplum ad tria, quae sunt numeri determinati, ita multiplex ad multiplicitatem, quia significat numerum indeterminatum.

Aliae autem proportiones non possunt attendi secundum numerum ad unitatem, scilicet neque proportio superparticularis, neque superpartiens, neque multiplex superparticularis, neque multiplex superpartiens. Omnes enim hae proportionum species attenduntur secundum quod maior numerus continet minorem semel, vel aliquoties; et insuper unam vel plures partes eius. Unitas autem partem habere non potest: et ideo nulla harum proportionum potest attendi secundum comparationem numeri ad unitatem, sed secundum comparationem numeri ad numerum.

Et sic est duplex, vel secundum numerum determinatum, vel secundum numerum indeterminatum.

Si autem secundum numerum determinatum, sic est hemiolum, idest sesquialterum, aut subhemiolum, idest supersesquialterum. Proportio enim sesquialtera primo consistit in his terminis, scilicet ternario et binario; et sub ratione eorum in omnibus aliis invenitur. Unde quod dicitur hemiolum vel sesquialterum importat relationem determinati numeri ad determinatum numerum, scilicet trium ad duo.

Quod vero dicitur superparticulare, refertur ad subparticulare, non secundum determinatos numeros, sicut etiam multiplex refertur ad unum, sed secundum numerum indeterminatum. Primae enim species inaequalitatis superius numeratae accipiuntur secundum indeterminatos numeros, ut multiplex, superparticulare, superpartiens etc.. Species vero istorum accipiuntur secundum numeros determinatos, ut duplum, triplum, sesquialterum, sesquitertium, et sic de aliis.

Contingit enim aliquas quantitates continuas habere proportionem adinvicem, sed non secundum aliquem numerum, nec determinatum, nec indeterminatum.

Omnium enim quantitatum continuarum est aliqua proportio; non tamen est proportio numeralis. Quorumlibet enim duorum numerorum est una mensura communis, scilicet unitas, quae aliquoties sumpta, quemlibet numerum reddit. Non autem quarumlibet quantitatum continuarum invenitur esse una mensura communis; sed sunt quaedam quantitates continuae incommensurabiles: sicut diameter quadrati est incommensurabilis lateri. Et hoc ideo, quia non est proportio eius ad latus, sicut proportio numeri ad numerum, vel numeri ad unum.

Cum ergo dicitur in quantitatibus, quod haec est maior illa, vel se habet ad illam ut continens ad contentum, non solum haec ratio non attenditur secundum aliquam determinatam speciem numeri, sed nec etiam quod sit secundum numerum, quia omnis numerus est alteri commensurabilis.

Omnes enim numeri habent unam communem mensuram, scilicet unitatem.

Sed continens et contentum non dicuntur secundum aliquam commensurationem numeralem.

Continens enim ad contentum dicitur, quod est tantum, et adhuc amplius.

Et hoc est indeterminatum, utrum sit commensurabile, vel non commensurabile.

Quantitas enim qualiscumque accipiatur, vel est aequalis, vel inaequalis. Unde, si non est aequalis, sequitur quod sit inaequalis et continens, etiam si non sit commensurabilis.

Patet igitur quod omnia praedicta dicuntur ad aliquid secundum numerum, et secundum passiones numerorum, quae sunt commensuratio, proportio, et huiusmodi.

Deinde cum dicit et amplius ponit relativa, quae accipiuntur secundum unitatem, et non per comparationem numeri ad unum vel ad numerum; et dicit quod alio modo a praedictis dicuntur relative, aequale, simile, et idem. Haec enim dicuntur secundum unitatem. Nam eadem sunt, quorum substantia est una. Similia, quorum qualitas est una. Aequalia, quorum quantitas est una. Cum autem unum sit principium numeri et mensura, patet etiam, quod haec dicuntur ad aliquid secundum numerum, idest secundum aliquid ad genus numeri pertinens; non eodem modo tamen haec ultima cum primis. Nam primae relationes erant secundum numerum ad numerum, vel secundum numerum ad unum; hoc autem secundum unum absolute.

Deinde cum dicit activa vero prosequitur de secundo modo relationum, quae sunt in activis et passivis: et dicit, quod huiusmodi relativa sunt relativa dupliciter.

Uno modo secundum potentiam activam et passivam; et secundo modo secundum actus harum potentiarum, qui sunt agere et pati; sicut calefactivum dicitur ad calefactibile secundum potentiam activam et passivam. Nam calefactum est, quod potest calefacere; calefactibile vero, quod potest calefieri. Calefaciens autem ad calefactum, et secans ad id quod secatur, dicuntur relative secundum actus praedictarum potentiarum.

Et differt iste modus relationum a praemissis. Quae enim sunt secundum numerum, non sunt aliquae actiones nisi secundum similitudinem, sicut multiplicare, dividere et huiusmodi, ut etiam in aliis dictum est, scilicet in secundo physicorum; ubi ostendit, quod mathematica abstrahunt a motu, et ideo in eis esse non possunt huiusmodi actiones, quae secundum motum sunt.

Sciendum etiam est quod eorum relativorum, quae dicuntur secundum potentiam activam et passivam, attenditur diversitas secundum diversa tempora. Quaedam enim horum dicuntur relative secundum tempus praeteritum, sicut quod fecit, ad illud quod factum est; ut pater ad filium, quia ille genuerit, iste genitus est; quae differunt secundum fecisse, et passum esse. Quaedam vero secundum tempus futurum, sicut facturus refertur ad faciendum.

Et ad hoc genus relationum reducuntur illae relationes, quae dicuntur secundum privationem potentiae, ut impossibile et invisibile. Dicitur enim aliquid impossibile huic vel illi; et similiter invisibile.

Deinde cum dicit ergo secundum prosequitur de tertio modo relationum; et dicit quod in hoc differt iste tertius modus a praemissis, quod in praemissis, unumquodque dicitur relative ex hoc, quod ipsum ad aliud refertur; non ex eo quod aliud referatur ad ipsum. Duplum enim refertur ad dimidium, et e converso; et similiter pater ad filium, et e converso; sed hoc tertio modo aliquid dicitur relative ex eo solum, quod aliquid refertur ad ipsum; sicut patet, quod sensibile et scibile vel intelligibile dicuntur relative, quia alia referuntur ad illa. Scibile enim dicitur aliquid, propter hoc, quod habetur scientia de ipso.

Et similiter sensibile dicitur aliquid quod potest sentiri.

Unde non dicitur relative propter aliquid quod sit ex eorum parte, quod sit qualitas, vel quantitas, vel actio, vel passio, sicut in praemissis relationibus accidebat; sed solum propter actiones aliorum, quae tamen in ipsa non terminantur.

Si enim videre esset actio videntis perveniens ad rem visam, sicut calefactio pervenit ad calefactibile; sicut calefactibile refertur ad calefaciens, ita visibile referretur ad videntem. Sed videre et intelligere et huiusmodi actiones, ut in nono huius dicetur, manent in agentibus, et non transeunt in res passas; unde visibile et scibile non patitur aliquid, ex hoc quod intelligitur vel videtur. Et propter hoc non ipsamet referuntur ad alia, sed alia ad ipsa. Et simile est in omnibus aliis, in quibus relative aliquid dicitur propter relationem alterius ad ipsum, sicut dextrum et sinistrum in columna. Cum enim dextrum et sinistrum designent principia motuum in rebus animatis, columnae et alicui inanimato attribui non possunt, nisi secundum quod animata aliquo modo se habeant ad ipsam, sicut columna dicitur dextra, quia homo est ei sinister. Et simile est de imagine respectu exemplaris, et denario, quo fit pretium emptionis. In omnibus autem his tota ratio referendi in duobus extremis, pendet ex altero. Et ideo omnia huiusmodi quodammodo se habent ut mensurabile et mensura.

Nam ab eo quaelibet res mensuratur, a quo ipsa dependet.

Sciendum est autem, quod quamvis scientia secundum nomen videatur referri ad scientem et ad scibile, dicitur enim scientia scientis, et scientia scibilis, et intellectus ad intelligentem et intelligibile; tamen intellectus secundum quod ad aliquid dicitur, non ad hoc cuius est sicut subiecti dicitur: sequeretur enim quod idem relativum bis diceretur. Constat enim quoniam intellectus dicitur ad intelligibile, sicut ad obiectum. Si autem diceretur ad intelligentem, bis diceretur ad aliquid; et cum esse relativi sit ad aliud quodammodo se habere, sequeretur quod idem haberet duplex esse. Et similiter de visu patet quod non dicitur ad videntem, sed ad obiectum quod est color vel aliquid aliud tale. Quod dicit propter ea, quae videntur in nocte non per proprium colorem, ut habetur in secundo de anima.

Quamvis et hoc recte posset dici, scilicet quod visus sit videntis. Refertur autem visus ad videntem, non inquantum est visus, sed inquantum est accidens, vel potentia videntis. Relatio enim respicit aliquid extra, non autem subiectum nisi inquantum est accidens. Et sic patet, quod isti sunt modi, quibus aliqua dicuntur secundum se ad aliquid.

Deinde cum dicit illa vero ponit tres modos, quibus aliqua dicuntur ad aliquid non secundum se, sed secundum aliud. Quorum primus est, quando aliqua dicuntur ad aliquid propter hoc quod sua genera sunt ad aliquid, sicut medicina dicitur ad aliquid, quia scientia est ad aliquid.

Dicitur enim, quod medicina est scientia sani et aegri. Et isto modo refertur scientia per hoc quod est accidens.

Secundus modus est, quando aliqua abstracta dicuntur ad aliquid, quia concreta habentia illa abstracta ad aliud dicuntur; sicut aequalitas et similitudo dicuntur ad aliquid, quia simile et aequale ad aliquid sunt. Aequalitas autem et similitudo secundum nomen non dicuntur ad aliquid.

Tertius modus est, quando subiectum dicitur ad aliquid, ratione accidentis; sicut homo vel album dicitur ad aliquid, quia utrique accidit duplum esse; et hoc modo caput dicitur ad aliquid, eo quod est pars.