Lectio 36

Postquam philosophus ostendit quod non contingit procedere in infinitum in demonstrationibus, hic inducit quaedam corollaria ex dictis. Et circa hoc duo facit: primo, ostendit quod necesse est accipere aliquas primas propositiones; secundo, quomodo illis primis sit utendum in demonstrationibus; ibi: cum autem oportet demonstrare etc..

Circa primum duo facit: primo, ostendit quod necesse est devenire ad aliquod primum, quando unum de pluribus praedicatur; secundo, quando unum praedicatur de uno; ibi: manifestum autem etc.. Circa primum quatuor facit: primo, proponit intentum; secundo, manifestat propositum; ibi: ut scaleno etc.; tertio, probat; ibi: sit autem b etc.; quarto, excludit quamdam obviationem; ibi: in eodem quidem genere etc..

Dicit ergo primo, quod demonstratis praemissis, scilicet quod non sit procedere in infinitum in praedicationibus et demonstrationibus, manifestum est quod si aliquid praedicatur de duobus, puta a de c et d, ita scilicet quod unum eorum non praedicetur de altero, aut nullo modo, sicut animal praedicatur de homine et bove, quorum unum nullo modo de alio praedicatur, aut non de omni, puta animal praedicatur de homine et masculo, quorum neutrum de altero universaliter praedicatur; sic, inquam, se habentibus terminis, manifestum est quod non oportet quod illud praedicatum, quod de utroque praedicatur, insit utrique secundum aliquod commune, et hoc semper, idest in infinitum procedendo.

Deinde cum dicit: ut scaleno et isosceli etc., manifestat propositum per exemplum. Sunt enim duae species trianguli, quarum una vocatur scalenon, vel triangulus gradatus, cuius sunt tria latera inaequalia; alia est isosceles, cuius sunt duo latera aequalia: unum autem horum non praedicatur de altero; utrique autem inest haec passio, habere tres angulos aequales duobus rectis. Inest autem hoc eis secundum aliquid commune, scilicet secundum quod uterque horum est figura quaedam, scilicet triangulus. Hoc autem non semper sic se habet, scilicet quod in infinitum conveniat secundum aliquid aliud; puta quod habere tres conveniat triangulo iterum secundum aliquid aliud, et sic in infinitum.

Deinde cum dicit: sit enim b secundum etc., probat propositum et dicit: sit ita quod b praedicetur de c et de d secundum hoc commune, quod est a. Manifestum est ergo quod b erit in c et in d secundum illud commune, quod est a; et si iterum insit a secundum aliquod commune, et iterum illi communi secundum aliquid aliud, procedetur in infinitum in mediis. Sequitur igitur quod inter duo extrema, quae sunt c et b, cadant infiniti termini medii. Hoc autem est impossibile: ergo non necesse est, si idem insit pluribus, quod semper in infinitum insit eis secundum aliquid commune; quia necesse est quod deveniatur ad aliqua spatia immediata, idest ad aliquas immediatas praedicationes, quas appellat spatia, ut supra dictum est.

Quantum igitur videtur ex hac probatione Aristotelis, non est suus intellectus, quod hoc non semper sit verum, quod quando aliquid praedicatur de pluribus, quae de se invicem non praedicantur, quod illud non insit illis pluribus secundum aliquid commune. Hoc enim verum est in omni quod praedicatur sicut passio: oportet enim si inest pluribus, quod insit eis secundum aliquid commune, licet forte illud sit innominatum, sicut supra dictum est cum de universali ageretur.

Sed in illo communi non proceditur in infinitum, ut haec ratio inducta a philosopho evidenter probat. Si autem accipiatur aliquid, quod insit pluribus sicut genus speciebus, non semper oportebit aliquid prius accipere, secundum quod insit, puta si vivum insit homini et asino secundum aliquod prius, scilicet secundum animal; animali autem et plantae non inest secundum aliquod prius, quia haec sunt primae species corporis vivi, sive animati.

Deinde cum dicit: in eodem quidem genere etc., excludit quamdam obviationem. Posset enim aliquis dicere quod semper accipitur secundum aliquid commune, quia potest accipi commune alterius generis: puta si dicamus quod esse seipsum movens inest homini et asino secundum hoc commune, quod est animal, et secundum aliud commune, quod est habens quantitatem, vel habens colorem, aut aliquid aliud huiusmodi; quae possunt accipi in infinitum. Et ad hoc excludendum dicit, quod necesse est terminos medios, qui accipiuntur, accipi ex eodem genere et ex eisdem atomis, idest indivisibilibus. Et appellat atomos, ipsos terminos extremos: inter quos oportet accipi medium, si illud commune, quod accipitur ut medius terminus, sit de numero eorum, quae praedicantur per se. Quare autem oporteat ex eodem genere assumere terminos medios, ostendit per hoc, quod sicut supra habitum est, non contingit demonstrationem transire de uno genere in aliud.

Deinde cum dicit: manifestum autem est etc., ostendit quod necesse est devenire ad aliquod unum in praedicabilibus, in quibus praedicatur unum de uno. Et primo, in affirmativis; secundo, in negativis; ibi: similiter autem et si a etc.. Dicit ergo primo, manifestum esse quod cum a praedicatur de b, si horum sit aliquod medium, quod illo medio uti possumus ad demonstrandum quod a sit in b: et haec sunt principia huiusmodi conclusionis. Et quaecunque accipiuntur ut media, sunt principia conclusionum mediatarum, quae per ea concluduntur. Nihil enim aliud sunt elementa, sive principia demonstrationum, quam propositiones immediatae. Et hoc dico vel omnes, vel universales: quod quidem potest dupliciter intelligi. Uno modo, ut propositio universalis accipiatur secundum quod dividitur contra singularem. Nam species specialissima non praedicatur de singulari per aliquod medium. Unde haec propositio est immediata: socrates est homo, non tamen est principium demonstrationis, quia demonstrationes non sunt de singularibus, cum eorum non sit scientia: et ita non omnis propositio immediata est demonstrationis principium, sed solum universalis. Alio modo potest intelligi secundum quod propositiones universales dicuntur propositiones communes in omnibus propositionibus alicuius scientiae, sicut, omne totum est maius sua parte: unde huiusmodi sunt simpliciter demonstrationum principia, et omnibus per se nota.

Haec autem propositio, homo est animal, vel, isosceles est triangulus, non est principium demonstrationis in tota scientia, sed solum aliquarum particularium demonstrationum; neque etiam huiusmodi propositiones sunt omnibus per se notae.

Sic igitur si sit aliquod medium propositionis datae, erit demonstrare per aliquod medium, quousque deveniatur ad aliquod immediatum. Si vero non sit aliquod medium propositionis datae, non poterit demonstrari. Sed haec est via ad inveniendum prima principia demonstrationum, scilicet procedere a mediatis ad immediata resolvendo.

Deinde cum dicit: similiter autem erit etc., ostendit quod sit accipere primum in negativis; et dicit quod si a negetur de b, si sit accipere aliquod medium, a quo scilicet per prius removeatur a quam a b, tunc haec propositio, b non est a, erit demonstrabilis. Si autem non sit aliquod tale medium accipere, non erit haec propositio demonstrabilis, sed principium demonstrationis.

Et tot erunt elementa, idest principia demonstrationis, quot erunt termini; ad quos scilicet statur, ut ultra non sit invenire medium. Propositiones enim quae fiunt ex huiusmodi terminis, sunt principia demonstrationis. Puta si c immediate praedicetur de b, et a immediate removeatur a b, aut praedicetur de eo immediate, b erit terminus ad quem ultimo pervenitur in mediis sumendis: unde utraque propositio erit immediata, et demonstrationis principium. Et patet ex praemissis quod sicut sunt quaedam principia indemonstrabilia affirmativa, in quibus unum de alio praedicatur, significando quod hoc essentialiter est illud, sicut cum genus praedicatur de proxima specie, vel hoc sit in illo, sicut cum passio praedicatur de proprio et immediato subiecto; ita etiam sunt principia indemonstrabilia in negativis, negando vel essentiale praedicatum, vel etiam propriam passionem. Ex quo patet quod quaedam sunt principia demonstrationis ad demonstrandum conclusionem affirmativam, quam oportet concludere ex omnibus affirmativis; et quaedam sunt principia demonstrationis ad probandum conclusionem negativam, ad cuius illationem oportet assumere aliquam negativam.

Deinde cum dicit: cum autem oporteat etc., ostendit quomodo utendum sit primis propositionibus in demonstrando. Et primo, in demonstrationibus affirmativis; secundo, in negativis; ibi: in privativis autem etc.. Circa primum tria facit: primo, ostendit qualiter oporteat sumere propositiones primas et immediatas in demonstrationibus; secundo, ostendit quomodo huiusmodi propositiones se habeant ad demonstrationes; ibi: et quemadmodum in aliis etc.; tertio, epilogat; ibi: in ostensivis quidem igitur etc..

Dicit ergo primo, quod quando oportet demonstrare aliquam conclusionem affirmativam, puta, omne b est a, necesse est accipere aliquid quod primo praedicetur de b quam a, et de quo a etiam praedicetur, et sit illud c; et si iterum aliquid sit, de quo a per prius praedicetur quam de c, sic semper procedendo; sic nec propositio nec terminus significans aliquod ens accipietur in demonstrando extra ipsum a, quia oportebit quod a praedicetur de eo per se, et ita quod contineatur sub eo et non sit ab eo extrinsecum; sed oportebit semper condensare media. Et loquitur ad similitudinem hominum, qui videntur esse condensati sedentes in aliqua sede, quando inter sedentes nullus potest intercidere medius.

Ita et media in demonstratione dicuntur densata, quando inter terminos acceptos nihil cadit medium.

Et hoc est quod dicit, quod medium densatur quousque perveniatur ad hoc quod spatia fiant indivisibilia; idest, distantiae inter duos terminos sint tales, quod non possint dividi in plures huiusmodi distantias, sed sit unum spatium tantum. Et hoc contingit, quando propositio est immediata. Tunc enim vere est una propositio non solum actu, sed etiam potentia, quando est immediata. Si enim sit mediata, quamvis sit una in actu, quia unum praedicatur de uno, tamen est multa in potentia, quia accepto medio formantur duae propositiones. Sicut etiam linea, quae est una in actu in quantum est continua, est tamen multa in potentia, in quantum est divisibilis per punctum medium. Et ideo dicit quod propositio immediata est una sicut simplex indivisibilis.

Deinde cum dicit: et quemadmodum in aliis etc., ostendit quomodo se habeat propositio immediata ad demonstrationem. Ubi considerandum est quod, sicut habetur in X metaphys., in quolibet genere oportet esse unum primum, quod est simplicissimum in genere illo, et mensura omnium quae sunt illius generis. Et quia mensura est homogenea mensurato, secundum diversitatem generum oportet esse huiusmodi prima indivisibilia diversa. Unde hoc non est idem in omnibus: sed in gravitate ponderum accipitur ut unum indivisibile uncia, sive mna, idest quoddam minimum pondus; quod tamen non est simplex omnino, quia quodlibet pondus est divisibile in minora pondera, sed accipitur ut simplex per suppositionem. In melodiis autem accipitur ut unum principium tonus, qui consistit in sesquioctava proportione, vel diesis, quae est differentia toni et semitonii. Et in diversis generibus sunt diversa principia indivisibilia.

Syllogismi autem principia sunt propositiones; unde oportet quod propositio simplicissima, quae est immediata, sit unum, quod est mensura syllogismorum. Demonstratio autem addit supra syllogismum quod facit scientiam. Comparatur autem intellectus ad scientiam sicut unum et indivisibile ad multa. Nam scientia est per decursum a principiis ad conclusiones; intellectus autem est absoluta et simplex acceptio principii per se noti. Unde intellectus respondet immediatae propositioni; scientia autem conclusioni, quae est propositio mediata. Sic igitur demonstrationis, in quantum est syllogismus, unum indivisibile est propositio immediata. Ex parte autem scientiae, quam causat, unum eius est intellectus.

Deinde cum dicit: in demonstrativis quidem etc., epilogando concludit quod supra ostensum est, scilicet quod in affirmativis syllogismis medium non cadit extra extrema.

Deinde cum dicit: in privativis autem ubi quidem etc., ostendit quomodo utendum sit propositionibus immediatis in syllogismis negativis. Et primo, in prima figura; secundo, in secunda; ibi: si vero oporteat monstrare etc.; tertio, in tertia; ibi: in tertio autem modo etc.. Dicit ergo primo, quod in negativis syllogismis, nihil mediorum acceptorum procedendo ad immediata cadit extra genus terminorum affirmativae propositionis in prima figura: puta si demonstrandum sit quod nullum b est a, et accipiatur medium c, tali existente syllogismo, nullum c est a; omne b est c; ergo nullum b est a. Si ergo oporteat iterum probare quod in nullo c sit a, oportet accipere medium ipsius c et a, quod scilicet praedicetur de c, et per consequens de b, et sic pertinebit ad genus terminorum affirmativae propositionis: et ita semper procedetur quod media accepta non cadent extra affirmativam propositionem; cadent tamen extra genus praedicati negativi, puta extra genus a.

Deinde cum dicit: si vero oporteat demonstrare etc., ostendit qualiter hoc se habeat in secunda figura; et dicit quod si oporteat demonstrare quod nullum e sit d, in secunda figura, accipiendo medium c, ut fiat talis syllogismus, omne d est c; nullum e est c, aut, quoddam e non est c; ergo nullum, vel, non omne e est d; nunquam medius terminus acceptus cadet extra e. Quia si oportebit iterum demonstrare quod nullum e est c, oportebit iterum accipere aliquod medium inter e et c; quia oportebit in secunda figura semper probare negativam; affirmativa enim in hac figura probari non potest.

Unde sicut in prima figura media accepta semper accipiuntur ex parte propositionis affirmativae, ita oportet in secunda figura semper media accipi ex parte propositionis negativae.

Deinde cum dicit: in tertio autem modo etc., ostendit qualiter hoc se habeat in tertia figura; et dicit quod in tertia figura media accepta non erunt neque extra praedicatum, quod negatur, neque extra subiectum, a quo negatur. Et hoc ideo quia medium subiicitur affirmativae vel negativae utrique; unde si oportet accipere adhuc aliquod medium, oportet iterum illud medium subiici utrique affirmando vel negando; et sic media accepta nunquam accipientur neque extra praedicatum negatum nec extra subiectum, de quo negatur.