SUMMARIUM

Tres modirelativorum, in hoc capite explicantur. Primus fundatur super unitate.Secundus superationeet passione. Tertius super ratione mensurae. De quibus vide Doctorem l.d. 3. q. 5. et d.30.et hic q.l2. et Praedicam.q. 25. et sequentibus.

Ad aliquid dicuntur alia per se, ut duplum ad dimidium, et triplum ad tertiam partem, et totaliter multiplicatum ad multiplicati partem, et continens ad contentum. Alia ut calefactivum ad calefactibile, et sectivum ad secabile, et omnino activum ad passivum; alia vero ut mensurabile ad mensuram, et scibile ad scientiam et sensibile ad sensum.

Distinguit Philosophus nomen relationis. Circa quod duo facit. Primo distinguit modos relativorum, quae sunt relativa per se primo. Secundo eorum quae non sunt per se primo, sed per aliud et per accidens. Secunda ibi : Secundum se quidem igitur. Prima in duas : quia primo proponit tres modos relativorum. Secundo exponit et proset quitur de eis. Secunda ibi: Dicuntur autem. Ponit tres modos relativorum quorum primus sumitur penes rerum quantitatem sive numerositatem. Ideo dicit, quod ad aliquid, id est, relativa dicuntur, alia quidem ut duplum ad dimidium, et triplum ad tertiam partem, et totaliter multiplicatum, id est multiplex ad multiplicati partem, id est, ad submultiplex, et continens ad contentum, id est, excedens ad excessum; nam omne excedens secundum quantitatem quodammodo continet illud quod exceditur, quia est tantumdem et amplius. Secundus modus sumitur penes rerum actionem et passionem, sive passibilitatem et activitatem. Ideo subdit quod alia supple dicuntur ad aliquid, ut calefactivum ad calefactibile quantum ad actionem et passionem naturalem, et sectivum ad secabile, quantum ad actionem artificialem, et generaliter omne activum ad passivum. Tertius modus sumitur penes rerum perfectionem et mensurabilem, unde subjungit,

quod alia supple dicuntur ad aliquid, ut mensurabile ad mensuram, et scibile ad scientiam,etsensibilead sensum. Notandum, quod ut dicit quidam expositor, mensura et mensurabile non accipiuntur hic secundum quantitatem proprie dictam, quae est de genere quantitatis (quia hoc pertinet ad primum modum, ubi est relatio mutua) sed accipitur secundum commensurationem esse rei et veritatis, ut veritas scientiae mensuratur a scibili, et veritas sensus ab objecto sensibili, et propter hoc, ut patebit inferius, in isto modo non est mutua relatio; sed in quo deficit hoc dictum, dicetur infra. Deinde cum dicit:

Dicuntur autem prima quidem secundum numerum, aut simpliciter aut determinate ad ipsos, aut ad unum, ut duplum quidem ad unum ut numerus determinatus. Multipliciter vero secundum numerum ad unum non determinatum autem, ut hunc, aut hunc. Hemiolium autem ad subhemiolium secundum numerum ad numerum determinatum: superparticulare autem ad sub superparticulare, sed indeterminatos, ut multiplex ad numerum.

Prosequitur de dictis tribus modis. Primo de primo. Secundo de secundo. Tertio de tertio. Secunda ibi : Activa vero et passiva. Tertia ibi: Secundum numerum quidem.

Ad evidentiam primae partis notandum, quod relationes primi modi fundantur super aliquid de genere Quantitatis, scilicet super numerum, vel super continuum; prius tamen reperitur relatio istius modi in numeris, et inest dupliciter: uno modo comparando: numerum ad numerum, ita quod oportet utrumque extremum esse numerum. Alio modo comparando numerum ad unum, ita quod solum alterum extremum est numerus, et sic est multiplex proportio secundum primum modum; abistis autem discretis derivatur ad continua, sed tamen aliqua reperitur relatio in discretis, quae non reperitur in continuis sicut dicetur postea. Ratio hujus est, quia in numeris est mensura sic, quod unitas aliquoties replicata reddit alterum extremum, sed in continuis non est sic, sed aliquando est proportio incommensurabilis, sicut diametri ad costam. Secundum hoc ergo haec pars dividitur in duas : quia primo prosequitur de relativis primi modi, secundum quod consequuntur ipsum numerum. Secundo prout sequuntur ipsum unum, quod est principium numeri. Secunda ibi : Et amplius aequale. Prima in duas. Primo facit quod dictum est. Secundo removet quoddam dubium. Secunda ibi : Continens autem et con tentum. Dicit ergo quod relationes sive relativa prima, id est primi modi dicuntur quidem secundum nume rum, scilicet prout numerus comparatur ad numerum, vel comparatur ad ipsum unum, quorum quodlibet potest esse dupliciter : quia vel est utrobique secundum comparationem ad aliquod determinatum, vel ad aliquod indeterminatum. Ideo dicit quod talia prima relativa secundum numerum dicuntur aut simpliciter, id est, indeterminate, aut determinate ad ip sos, scilicet numeros, ut quando numerus comparatur ad numerum, aut ad unum; et subdit exempla pro utraque parte dicens, quod du plum quidem ad unum, ut numerus de terminatus, id est, quod si duplum comparetur ad unum, tunc est comparatio numeri determinati; multiplex vero secundum numerum ad unum, non determinatum, aut ad hunc, vel ad hunc, id est, quod si multiplex secundum numerum comparetur ad unum, tunc est comparatio numeri indeterminati, nam numerus multiplex non dicit hunc vel illum numerum determinatum. Subdit etiam exempla prout numerus ad numerum comparatur dicens, quod si Hemiolium comparetur ad subhemiolium est supple comparatio se cundum numerum ad numerum deter minatum; si vero comparetur superparticulare ad subsuperparticulare, erit supple comparatio secundum numeros indeterminatos, ut cum multiplex comparabatur ad unum in exemplis prius.

Ad evidentiam hujus litterae notandum, quod cum omnis mensuratio, vel proportio in continuis derivetur a numeris, ut praedictum est; ideo omnes relationes primi modi, quae attribuuntur quantitati, appropriantur numero. Proportio autem numeralis dividitur in duas, quarum una dicitur inaequalitas, et altera aequalitas. Inaequalitas habet duas species, scilicet excedens vel majus, et excessum vel minus. Sciendum etiam quod ipsum inaequale excedens, ut tradunt Arithmetici, habet quinque species, quarum duae recitandae sunt solum pro exemplis Philosophi positis, ut aliqualiter intelligantur. Ubi sciendum quod numerus major respectu minoris quandoque est multiplex, quando scilicet aliquoties continet numerum minorem, sicut sex continent duo ter; et si quidem contineat ipsum bis, dicitur duplum, quemadmodum se habent duo ad unum, et senarius ad ternarium; si continet ipsum ter dicitur triplum: si quater quadruplum, et deinceps, et ista est prima species. Ulterius sciendum quod numerus major quandoque continet totum minorem semel, et ultra aliquam partem ejus, et tunc dicitur superparticularis: minor vero contentus dicitur subsuperparticularis. Et si quidem continet totum et mediam partem ejus, vocatur sesquialter sive hemiolius, quod idem est sicut se habent sex ad quatuor; si autem tertiam, dicitur sesquitertius, sicut se habent quatuor ad tria: si vero quartam, dicitur sesquiquartus, sicut se habent quinque ad quatuor, et sic deinceps, et ista est secunda species.

Notandum etiam, quod prima species proportionis, scilicet multiplicitas consistit in comparatione numeri, ad unum: quaelibet enim ejus species reperitur primo in aliquo numero respectu unitatis: duplum enim primo convenit binario comparato ad unum, similiter proportio tripla ternario respectu unitatis, et sic de aliis; quia igitur proportio dupla primo reperitur inter duo et unum, ideo accipit inde ista proportio denominationem, et dicitur proportio duorum ad unum. Unde quicumque numerus dicitur duplus ad alium, semperminor numerus habet rationem unius, et major duorum, quia talis est proportio qualis duorum ad unum, sicut se habent sex ad tria; ideo dicit quod relatio dupli per hoc est, quod comparatur numerus determinatus ad unum, non sic est de aliis proportionibus. De tribus speciebus aliis non est curandum, quia nihil faciunt ad propositum praesens, nec ad sensum litterae: sed apparet ex dictis, quod si comparetur multiplex ad unum, est comparatio numeri indeterminati: si vero comparetur duplum ad dimidium, est comparatio numeri determinati, nam duplum est quaedam determinata species, ut dictum est. Apparet etiam quod si comparetur numerus sesquialter, vel hemiolius ad subhemiolium, comparatur numerus determinatus ad determinatum; si vero comparetur superparticulare ad subsuperparticulare, comparatur numerus indeterminatus ad numerum indeterminatum, ut patet ex dictis, quia superparticulare est quoddam genus indifferens ad multos numeros in ista secunda specie, et similiter subsuperparticulare. Deinde cum dicit:

Gonlinens autem ad contentum omnino indeterminalum secundum numerum, numerus enim commensurabilis. Secundum non commensurabilem autem numerum dicuntur: continens enim ad contentum tantum quid est et amplius, haec autem indeterminata: quodcumque enim evenit, est aut aequale, aut non aequale; haec igitur ad aliquid omnia secundum numerum diemitur, et numeri et passiones.

Removet quoddam dubium, quia enim dictum est et innuit in littera quod proportio et mensuratio a discretis ad continua derivatur: crederet forte aliquis, quod uniformiter esset hic et ibi, sed hoc non est verum, quia, ut dictum fuit, aliqua proportio est haec in discretis, quae non est in continuis; continuas enim quantitates contingit habere proportionem ad invicem, sed non secundum numerum aliquem determinatum, nec indeterminatum. Nam licet omnium quantitatum finitarum sit aliqua proportio, non tamen omnium est proportio materialis, sed aliqua numeralis; quorumlibet enim duorum numerorum est una mensura communis, quae aliquoties sumpta reddit quemlibet numerum datum, non sic in continuis, sed sunt quaedam quantitates incommensurabiles sicut diametrum quadrati se habet ad latus quadrati. Cujus ratio est, quia non est proportio diametri ad latus, sicut proportio numeri ad numerum. Ideo dicit quod continens ad contentum omnino indeterminatum secundum numerum, id est, quod cum in quantitatibus una dicitur major alia, et se habet sicut continens ad contentum, non solum aliquando ista proportio non attenditur secundum aliquam speciem determinatam numeri, sed etiam nec secundum aliquem numerum simpliciter. Cujus causam subdit : numerus enim supple omnis commensurabilis, quia, ut dictum est, omnes numeri habent unam communem scilicet unitatem; sed continens ad contentum non semper supple dicitur secundum numerum commensurabilem : nam continens dicitur ad contentum, quia est tantum et amplius, hoc autem est indeterminatum : utrum scilicet sit commensurabilis, quodcumque enim evadit, id est, quod quantitas quaecumque accepta est aequalis, aut non aequalis, esto quod non sit commensurabilis;

concludit ergo quod haec igitur omnia dicuntur ad aliquid secundum numerum, et numeri passiones, id est, commensurationes, sive proportiones.

Notandum ad majorem evidentiam hujus litterae, quod quia proportio primo quidem reperitur in numeris, nam omnes numeri sunt mutuo commensurabiles, quatenus omnes communicant in prima mensura scilicet unitate; sunt autem variae proportiones numerorum secundum quod diversi numeri diversimode comparantur ad invicem; nam alia est proportio trium ad duo, quae dicitur hemiolia vel sesquialtera, et alia quatuor ad tria quae dicitur sesquitertia, ut praedictum est ; tamen quia quantitates continuae non resolvuntur in aliquod indivisibile, quemadmodum numeri in unitatem: ideo non est necessarium omnes continuas quantitates esse ad invicem commensurabiles, sed contingit esse aliquas, quarum una excedit aliam, quae tamen non habent unam communem mensuram, ut dictum est de diametro ; quaecumque autem continuae quantitates habent mutuam proportionem. sicut est proportio numeri ad numerum, illae habent unam communem mensuram. Exemplum, si una sit trium palmorum, alia quatuor, utraque mensuratur palmo. Deinde cum dicit :

Et amplius aequale, et simile, et idem, secundum alium modum, secundum enim unum dicuntur omnia: eadem namque quorum una est substantia: similia vero sunt quorum qualitas estuna,aequalia quorum quantitas est una. Unum autem numeri principium est et metrum: quare haec omnia ad aliquid dicuntur secundum numerum quidem, non tamen eodem modo.

Prosequitur de relativis primi modi, ut fundantur super unum dicens, quod amplius secundum alium modum a praedictis dicuntur supple relativa : aequale et simile, et idem, omnia enim haec dicuntur secundum unum, eadem namque dicuntur, quorum una est substantia ; similia vero quorum qualitas est una, aequalia vero quorum quantitas est una. Unum autem est metrum, id est, mensura, et principium numeri, quare haec omnia dicuntur ad aliquid secundum numerum, id est, secundum aliquid pertinens ad genus numeri, non autem eodem modo, quia sicut dictum est, primae relationes erant secundum numerum comparatum ad numerum vel ad unum, istae autem sunt simpliciter secundum unum.