Scholium.

Probat per duas Geometricas demonstrationes continuum non componi ex indivisibilibus (de quo agit 6. Physic. quaest. 1. plura afferens Geometrica). Prima est, quod alias circumferentia minor esset aequalis majori, vel pars aequalis toti. Secunda, alias linea Diametralis esset commensurabilis costae, quia puncta utriusque haberent se in aliqua proportione numerali, consequens est falsum, quia quadratum Diametri non se habet ad quadratum costae, sicut unus numerus quadratus ad alium numerum quadratum, quia inter hujusmodi numeros non datur proportio dupla, inter illa quadrata datur, ut constat ex figura. Nec est alia commensuratio, his quadratis conveniens, nisi qualis est unius numeri quadrati ad alium quadratum ; infer etiam ex opposito, quod Diameter et costa essent aequales, quod ad oculum patet esse falsum.

Ad secundum (a) nego illud quod assumitur, scilicet nullum successivum est continuum. Antecedens etiam, quod assumitur ad ejus probationem, scilicet quod componatur ex indivisibilibus, nego, et ejus falsitatem probo per rationem Philosophi, 6. Physic. de proportione sesquialtera, quae plus convincit adversarium, licet forte aliquae rationes ejus magis sint a causa, quia supponit quod in quacumque proportione possit motus accipi velocior omni motu dato, et per consequens motu aliquo dato mensurato tribus instantibus, erit accipere motum in duplo velociorem, qui mensuratur vel mensurabitur instanti cum dimidio.

Istud etiam de successivo (b), probo per continuitatem permanentis, quia permanens est continuum ; igitur et successivum: consequentiam probo, quia si in motu, indivisibilia sint sibi invicem immediata, quaero de mobili et ipsis ubi, quae habet in ipsis instantibus immediatis. Si inter ultimum unius ubi et alterius, nihil sit medium, igitur ultimum unius immediatum est ultimo alterius. Si inter illa duo ubi sit aliquid medium, quaero de ultimo ipsius mobilis quando est in ipso medio? Non in altero instanti, quia nec in illis duobus indivisibilibus: est igitur in medio aliquo inter illa duo instantia; ergo illa duo instantia non erant immediata. Et istam (c) consequentiam declarat Philosophus 6. Physic. quod scilicet ejusdem rationis est motum et magnitudinem et tempus componi ex indivisibilibus. Antecedens probari potest manifestius de permanentibus, quam de successivis per rationes Philosophi 6. Physic. quia magis est evidens et manifestum quod indivisibilia permanentia non faciant majus, quam de indivisibilibus sibi invicem succedentibus. Tamen efficacius probatur antecedens illud per duas rationes, vel duas probationes Geometricas, quarum prima est ista : Super

AdminBookmark

centrum quodlibet, quantumlibet occupando spatium, contingit circulum designare, secundum illam petitionem secundam primi Euclidis. Super centrum igitur aliquod datum, quod dicatur A, describantur duo circuli, major qui dicatur B, et minor qui dicatur D, si circumferentia majoris componatur ex punctis, duo puncta immediata sibi signentur, quae sunt B et C, ducatur linea recta ab A ad B et linea recta ab A ad C, secundum illam primam petitionem primi Euclidis : a puncto ad punctum contingit lineam rectam ducere; istae lineae ductae transibunt per circumferentiam minoris circuli. Quaero, aut secabunt eam in eodem puncto, aut in alio ; si in alio, igitur tot puncta erunt in minori circulo sicut in majori, sed impossibile est duo inaequalia componi ex partibus aequalibus in magnitudine et in multitudine. Punctus enim non excedit punctum in magnitudine, et puncta in circumferentia circuli minoris sunt tot, quot in circumferentia circuli majoris; ergo minor circumferentia est aequalis majori, et per consequens pars est aequalis toti.

(d) Si autem duae rectae lineae A B, et A C, secent minorem circumferentiam in eodem puncto, sit ille D, super lineam A B, erigatur linea recta secans, scilicet eam in puncto D, quae sit E D, quae sit etiam contingens respectu minoris circuli, ex decimoquinto tertii Euclidis; ista cum linea A B, constituit duos rectos angulos, vel aequales duobus rectis ex decimotertio primi Euclidis, igitur angulus A D C, et etiam angulus B D E, valent duos rectos ; pari ratione angulus A D E, et angulus C D E, valent duos rectos ; sed quicumque duo anguli recti sunt aequales quibuscumque duobus rectis ex tertia petitione primi Euclidis; igitur dempto communi, scilicet A D E, residua erunt aequalia; igitur angulus B D E erit aequalis angulo C D E, et ita pars erit aequalis toti.

(e) Ad istud diceret adversarius, D B, et D C non includunt aliquem angulum, quia posset tunc illi angulo basis subprotendi a puncto B ad punctum C, quod est oppositum positi, quia B C ponuntur puncta immediata: quando ergo accipitur, quod angulus C D E est totalis ad angulum B D E, negatur, quia angulo B D E nihil additur in angulo C D E, quia inter B et C, in concursu eorum in D, non est angulus.

(f) Ista responsio licet videatur absurda, negando angulum, ubi duae lineae concurrunt, quae expanduntur super superficiem, et applicantur non directe, et in hoc contradicat definitioni anguli, primo Eucledis, negando etiam a B in C lineam posse duci, neget primam petitionem primi Euclidis: tamen quia haec non reputarentur inconvenientia, quia sequuntur ad propositum: contra responsionem (g) aliter arguo, angulus C D E includit totum angulum B D E, et addit saltem punctum licet protervias, quod non addit angulum, et punctus, per te, est pars: igitur angulus C D E addit super angulum B D E partem aliquam, igitur est totum ad illud. Assumptum patet, quia si angulus dicatur spatium interceptum inter lineas, non includendo lineas, tunc punctus primus lineae B D, extra circumferentiam minorem, nihil erit anguli B D E, et est aliquid anguli C D E.

Si autem angulus ultra spatium inclusum, includit lineam includentem, et tunc primus punctus lineae D C, extra circumferentiam minorem, nihil erit anguli B D E, et est aliquid anguli C D E, et ita utroque modo angulus C D E addit punctum super angulum B D E.

(h) Nec potest aliquo modo obviari demonstrationi principali, quasi in illa circumferentia non incipiant lineae dividi a se, sed alibi propinquius centro vel remotius, quia ubicumque hoc posueris, ibi describam circumferentiam minorem.

Istam secundam partem, scilicet quod minor circumferentia non secetur in uno eodem puncto, si secetur a duabus lineis, non oporteret probare, nisi propter proterviam adversarii, quia satis est manifestum quod eadem linea, si protrahatur in continuum et directum, nunquam terminabitur ex eadem parte ad duo puncta. Et si istud manifestum verum conceditur, statim ex deductione in prima parte patet propositum.

Secunda probatio est ex quinta et septima decimi Euclidis. Dicit enim illa quinta, quod omnium quantitatum commensurabilium proportio est ad invicem sicut alicujus numeri ad aliquem numerum, et per consequens sicut vult septima, si lineae aliquae sint * commensurabiles, quadrata illarum se habebunt ad invicem, sicut unus numerus quadratus ad aliquem alium quadratum: quadratum autem Diametri non se habet ad quadratum costae, sicut numerus aliquis quadratus ad alium numerum quadratum: igitur nec linea illa quae erat Diameter quadrati, commensurabilis erit costae istius quadrati. Minor hujus patet ex penultimo primi, quod quadratum Diametri est duplum ad quadratum costae, pro eo quod est aequale quadratis duarum costarum: nullus autem numerus quadratus est duplus ad alium numerum quadratum, sicut patet discurrendo per omnes quadratos ex quibuscumque radicibus in se ductis.

Ex hoc patet ista conclusio, quod diameter est asymmeter costae, id est incommensurabilis. Si autem lineae componerentur ex punctis, non essent incommensurabiles ; haberent enim se puncta unius ad puncta alterius in aliqua proportione numerali, nec solum sequeretur quod non essent incommensurabiles lineae, sed etiam quod essent aequales,

AdminBookmark

quod est plane contra sensum. Probatio hujus consequentiae: ac-

AdminBookmark

cipiantur duo puncta immediata in costa, et alia duo opposita in alia costa, et ab istis ad illa ducantur duae lineae rectae aeque distantes ipsi costae, istae secabunt diametrum. Quaero aut in punctis immediatis, aut mediatis ? Si in immediatis, igitur non plura puncta in Diametro sunt quam in costa; igitur non est Diameter major costa. Si in punctis mediatis, accipio punctum medium inter illa duo puncta mediata Diametri, a quo trahatur linea in continuum et directum ; illa cadet extra utramque lineam istam ex datis, et ab illo puncto duco aeque distantem utrique lineae datae, ex trigesimo primo primi. Ista aeque distans ducatur in continuum et directum. Ex secunda parte primae petitionis primi, secabit costam, et in neutro puncto ejus dato, sed inter utrumque, alioquin concurreret cum illa cum qua ponitur aeque distans, quod est contra definitionem aeque distantium, quae est ultima definitio posita in primo, igitur inter illa duo puncta, quae ponebantur immediata in costa, est punctus medius. Sequitur hoc ex hoc quod dicebatur, inter duo puncta Diametri esse punctum medium: igitur ex opposito consequentis, sequitur oppositum antecedentis ; igitur inter duo puncta prima, in Diametro non est punctum medium, imo generaliter totus decimus Euclidis destruit illam compositionem lineae ex punctis, quia nulla esset omnino linea irrationalis sive surda, cum tamen principaliter tractet ibi de irrationabilibus, sicut patet ibi de multis speciebus irrationalis lineae, quas assignat.