COMMENTARIUS.

Secundo principaliter arguit Doctor, probando quod non possit moveri motu continuo. Et primo probat in communi, quod nullum successivum sit continuum, et probat duplici via. Secundo principaliter probat, quod supposito successivum esse continuum, quod tamen Angelus non possit moveri localiter motu continuo. Sed antequam adducam argumenta, prius declaro rationes Doctoris, quibus probat esse impossibile continuum, sive permanens, sive successivum componi ex indivisibilibus, quae rationes ponuntur ibi.

(a) Ad secundum nego illud quod assumitur, scilicet nullum successivum est continuum.

Et primo adducit duas rationes Philosophi, et duas alias speciales et Geometricas, quibus probat esse simpliciter impossibile continuum componi ex indivisibilibus. Et prima ratio Philosophi ponitur 6. Phsicorum text. com. 23. et 29. de proportione sesquialtera. Et prius declaro proportionem sesquialteram, ut facilius intelligatur ratio Philosophi. Nam proportio sesquialtera continet totum et medietatem illius, sicut tria ad duo, nam tria continent duo, et etiam medietatem dualitatis quae est unitas, et sic ascendendo, proportio sesquitertia continet totum et tertiam partem, sicut quatuor ad tria, quia quatuor continent tria et tertiam partem, quae est una unitas, et sic de proportione sesquiquarta, quae continet totum et quartam partem, sicut quinque ad quatuor, et sic de aliis. Dicit ergo Aristoteles quod si motus esset compositus ex indivisibilibus, indivisibile de necessitate esset divisibile. Probatur, quia pono quod A transeat spatium unius milliaris in tribus instantibus temporis, deinde pono quod B velocius moveatur in duplo, quod patet, quia dato quocumque motu adhuc velocior potest dari, ut probat Aristoteles sexto Physicorum; ergo ille motus velocior in duplo mensurabitur minori tempore in duplo, ergo sicut primus motus mensuratur tribus instantibus, secundus motus mensurabitur uno instanti, et dimidio alterius instantis, et sic instans indivisibile erit divisibile, quod est impossibile.

(b) Istud etiam de successivo probo per continuitatem permanentis. Haec est secunda ratio Aristotelis, qua probat, quod successivum non sit compositum ex indivisibilibus. Et arguitur sic : Sicut se habet continuum permanentis ad suas partes, ita et successivum ad suas: patet, quia partes successivi, puta motus, sumuntur a partibus permanentis. Exemplum, si A transit spatium pedale, non dicimus quod in motu sit prius et posterius, nisi per respectum prioris et posterioris in spatio, ut patet; et similiter dicimus, quod prius et posterius in tempore sumuntur a priori et posteriori in motu, ut patet 4. Physicorum, text. com. 104. si ergo permanens continuum non habet partes indivisibiles, sed divisibiles, ita et successivum. Declaro tamen hanc litteram. Cum dicit permanens est continuum, igitur etiam successivum, consequentiam probo, quia si in motu indivisibilia, puta mutationes, quae sunt indivisibiles, sint sibi invicem immediata, id est, quod inter duas mutationes, sive duo mutata esse non cadit medium, scilicet divisibile, quaero de mobili et ipsis ubi, quae habet in ipsis instantibus immediatis, si inter ultimum unius ubi et ultimum alterius, nihil sit medium, igitur ultimum unius immediatum est ultimum alterius. Vult dicere,

quod cum mobile movetur super aliqua magnitudine in quolibet puncto magnitudinis est aliud et aliud ubi, et cum mobile est in alio et alio ubi, est sub alio et alio mutato esse, quibus mutatis esse correspondet aliud et aliud instans; accipio ergo duo instantia correspondentia duobus mutatis esse, quae duo mutata esse correspondent duobus ubi in alia magnitudine, et illa duo ubi correspondent duobus punctis; tunc quaero, aut inter illa duo instantia cadit medium divisibile, aut nullum cadit medium. Si secundo, tunc ultimum unius instantis, quod est ipsum instans indivisibile erit immediatum ultimo alterius instantis, sive quod unum instans erit immediatum alteri instanti, et cum illa instantia mensurent immediate duo mutata esse; ergo duo mutata esse erunt immediata, et quia illa mutata esse correspondent duobus punctis in magnitudine; ergo duo puncta in magnitudine erunt immediata, et sic duo ubi correspondentia duobus punctis erunt ad invicem immediata.

Si vero detur, quod inter illa duo ubi sit aliquod medium, tunc quaero de ultimo ipsius mobilis, quando est in ipso medio, non in altero instanti, quia nec in illis duobus indivisibilibus;est igitur in medio aliquo inter illa duo instantia. Vult dicere, quod si detur tale medium, quaeritur tunc de mobili, quod movetur ab uno ubi mensurato ab uno instanti temporis ad aliud ubi, similiter mensurato ab alio instanti temporis, cum non sit sub illis indivisibilibus, quando recedit ab uno ubi ad aliud, igitur erit in aliquo medio inter ubi et ubi, puta in motu locali, et similiter erit in medio, quod est inter illa duo instantia mensurantia illa duo ubi, et tale medium erit tempus inter illa duo instantia ; et sic patet quomodo successiva non sint composita ex indivisibilibus. Sequitur ergo littera :

(c) Et istam consequentiam declarat Philosophus. Consequentia est ista : Permanens continuum non est compositum ex indivisibilibus: ergo nec continua successive. Patet ista consequentia per Aristotelem, ubi supra : quia ejusdem rationis est motum et magnitudinem, et tempus componi ex indivisibilibus. Patet, quia successio in motu, quae est secundum prius et posterius accipitur a successione in magnitudine secundum prius et posterius in ipsa, etiam successio in tempore accipitur a successione in motu, ut patet ab Aristotele quarto Physicorum, text. com. 104. sicut ergo magnitudo non est composita ex indivisibilibus, ita nec motus, nec tempus. Sequitur : Antecedens probari potest. Dicit Doctor, quod hoc antecedens, scilicet continuum permanens non est compositum ex indivisibilibus, potest manifestius probari, quam de continuis successivis per rationes Philosophi, sexto Physicorum, et primo de Generatione, text. com. 8. et tertio Metaphys. text. com. 16. magis est evidens, quod indivisibilia permanentia non faciant majus quam de indivisibilibus sibi invicem succedentibus. Quod autem indivisibile permanens additum indivisibili non faciat majus, patet, quia talia indivisibilia aut tangerent se secundum se tota: igitur unum non distingueretur ab alio secundum situm, et ita non causaret extensionem aliquam, non possunt autem tangere se secundum paries, cum non habeant illas.

Sed quidquid sit de rationibus Aristotelis, quibus nititur probare continua permanentia, non posse componi ex indivisibilibus, Doctor addit duas rationes efficaciores, quibus probat continua permanentia nullo modo posse componi ex indivisibilibus. Et istae duae rationes sunt satis clarae in littera, tamen pro junioribus aliqualiter expono illas. Prima ratio est ista : Super centrum quodlibet quantumlibet occupando spatium, etc. id est, quod dato aliquo centro contingit designare circulum quantumcumque magnum. Sequitur : Super centrum igitur aliquod datum, quod dicatur, etc. Quaero, aut secabunt eam in eodem puncto, aut in alio; si in alio, igitur tot puncta erunt in minori circulo, sicut in majori. Hoc patet, quia quot lineae ducuntur a centro ad circumferentiam majoris circuli, tot possunt deduci a centro eodem ad circumferentiam minoris circuli. Pono modo, quod centum lineae ducantur a centro A ad centum puncta immediata majoris circuli, aut illae lineae transibunt per minorem circulum in alio et in alio puncto, et sic quot puncta erunt in majori circulo, tot erunt in minori circulo, quod est impossibile. Est enim impossibile duo inaequalia componi ex partibus aequalibus in magnitudine et multitudines punctus enim non excedit punctum in magnitudine, et puncta minoris circuli tot sunt quot majoris circuli: ergo minor circumferentia est aequalis majori, et per consequens pars est aequalis toti.

(d) Si autem duae rectae lineae, etc. Ista linea recta, scilicet D E, cum linea A B,

onstiluit duos rectos angulos aequales duobus rectis, ex tertiodecimo primo Euclidis, ubi habetur quod quando super lineam rectam cadit linea perpendiculariter, efficiuntur ibi duo anguli recti; si vero non cadat perpendiculariter efficiuntur duo anguli, unus acutus qui est minor, et alius obtusus qui est major, tamen isti duo anguli aequivalent duobus rectis. Sequitur: igitur angulus A D E et etiam angulus B D E valent duos rectos, etc.

Pro majori intelligentia, nota, quod angulus communis est ille, qui est communis duobus angulis rectis, ut patet hic in exemplo, nam angulus A D E, qui est citra circulum minorem, id est, illud spatium, quod est inter A D E, est angulus communis angulo C D E, et angulo B D E, qui anguli sunt extra circumferentiam minoris circuli: ergo dempto illo communi, illi duo anguli erunt aequales, per unam petitionem Euclidis. Quae sunt aequalia uni tertio, sunt aequalia inter se, et tamen unus angulus erit totum ad alium angulum; igitur pars erit aequalis toti, nam angulus E D E est pars anguli C D E patet, quia spatium inter B D E, est pars spatii inter C D E, et sic pars est aequalis toti.

(e) Ad istud diceret adversarius, etc. Quia probavit Doctor supra, quod angulus C D E, est totum ad angulum B D E, et angulus B D E, est pars ipsius. Diceret adversarius, quod si spatium inter lineas D C, et D B, esset angulus, quod verum esset, sed negaret ibi esse angulum: si enim ibi esset angulus ,oporteret quod inter B et C esset basis. Vult enim ipse adversarius, quod angulus tantum sit inter tres lineas angulariter unitas; modo inter B et C non potest poni aliqua linea, quae sit basis, quia tunc B et C non essent puncta immediata,

(f) Ista responsio licet videatur absurda, negando angulum, ubi duae lineae concurrunt, sive conjunguntur, in aliquo puncto, quae expanduntur super superficiem, et applicantur non directe, et in hoc contradicat definitioni anguli datae primo Euclidis, negando etiam a B in C, lineam posse dari. Negat primam petitionem primi Euclidis, quae est a puncto in punctum, contingit dicere rectam lineam. Sequitur ibi : tamen quia haec non reputarentur inconvenientia, quia sequuntur ad propositum adversarii.

(g) Contra responsionem aliter arguo. Hic Doctor intendit concludere contra adversarium, quod saltem angulus C D E, addit unum punctum ad angulum B D E, quod patet, quia si angulus accipiatur pro spatio, non includendo lineas, certum est, quod angulus B D E, non includit lineam, nec punctum lineae C D E, et tamen punctus ipsius lineae est pars spatii anguli C O E, ut patet; si enim angulus (ut dictum est) sit spatium interceptum inter lineas, non includendo lineas, tunc punctus primus lineae B D extra circumferentiam minorem nihil erit anguli E D E, quia talis angulus est tantum spatium interceptum inter lineas B D E, quod spatium non includit primum punctum lineae B D, cum talis punctus non includatur in spatio anguli B D E, quia nec linea B D per positum, et sic punctus primus lineae B D, extra circumferentiam minorem nihil erit anguli B D E, et est aliquid anguli C D E, patet, quia spatium interceptum inter lineas anguli C D E, includit spatium anguli B D E, ut supra patuit: ergo includit primum punctum lineae B D, quae linea est terminus spatii anguli B D E. Et quod etiam includat, patet, quia posito, quod linea A B, et linea A C, secent circumferentiam minoris circuli in eodem puncto, non tamen circumferentiam majoris circuli, sed in alio puncto ; tunc patet, quod angulus C D E, includit angulum B D E, et spatium anguli C D E, includet spatium B D E, si modo angulus B D E, accipiatur tantum pro spatio extra circumferentiam minoris circuli, non includendo lineas, tunc non includet primum punctum lineae B D, sed includetur in spatio anguli, D D E, et sic angulus C D E, addit punctum super angulum B D E, st sic est totum respectu anguli B D E, patet, quia tunc majus, ut majus habet rationem totius respectu minoris, et per consequens angulus B D E, erit pars, vel habebit rationem partis respectu anguli C D E, sed angulus B D ae,est aequalis angulo C D E, ut supra patuit, quia sunt aequales angulo communi; ergo inter se erunt aequales, dempto illo communi, ut patuit supra. Sequitur :

Si autem angulus ultra spatium inclusum includit lineam includentem tale spatium, tunc primus punctus lineae D C extra circumferentiam minorem, nihil erit B D E, patet, quia angulus B D E, tantum includit lineam B D, quae includit spatium anguli B D E, et sic non includit lineam C D, pertinentum ad angulum C D E, et talis punctus, scilicet lineae C D erit aliquid C D E, et ita utroque modo angulus C D E, addit punctum super angulum B D E, et sic totum respectu anguli B D E, ut supra patuit.

(h) Nec potest aliquo modo obviari, etc. Vult dicere, quod si adversarius vellet dicere, quod lineae A B, et A C non dividantur in circumferentia circuli minoris, nec infra circulum minorem, sed tantum extra, et sic non oportet quaerere, aut secabunt in eodem puncto, aut in alio et alio, cum sint quodammodo eadem linea, vel quasi una supponitur alteri. Dicit Doctor quod hoc nihil est, quia ubi dividuntur, circumscribatur circumferentia minoris circuli, et sic idem quod prius, videlicet, aut secabunt in eodem puncto circumferentiae minoris circuli, aut in alio et alio, et arguatur ut prius.

Secunda probatio principalis, qua probatur continuum permanens non esse compositum ex indivisibilibus, et procedit ex 5. et 17. Euclidis : Dicit enim illa quinta, quod omnium quantitatum commensurabilium proportio est ad invicem, sicut alicujus numeri ad aliquem numerum, patet, quia inter quantitates commensurabiles, est proportio, vel dupla,

vel sesquialtera, vel aliqua alia proportio, de quibus in quinto Euclidis. Sequitur : Et per consequens sicut vult septima, etc. Intendit primo probare in hac ratione, quod diameter quadrati sit incommensurabilis costae, et tota probatio stat in hoc, quia quando una linea est commensurabilis alteri, est etiam proportionabilis alteri, et est proportio inter illas, sicut proportio alicujus numeri ad numerum, et per consequens inter quadratum unius, et quadratum alterius est proportio sicut numeri ad numerum. Numerus enim quadratus est ille, qui consurgit ex aliquo numero in se multiplicato, sicut novem est numerus quadratus, qui consurgit ex numero quadrato in se multiplicato, patet, quia ter tria faciunt novem, et numerus ternarius dicitur radix numeri quadrati scilicet novem, et breviter omnis numerus potest esse radix alicujus quadrati, quia in se multiplicatus semper reddit numerum quadratum, non autem omnis numerus est quadratus, quia non habet radicem, ut patet de numero denario .

Dico ultra, quod nunquam numerus quadratus potest esse praecise duplus ad alium numerum quadratum, ut patet in omnibus quadratis, quia non 16. est praecise duplum ad 9. nec 25. nec 36. ad 25. nec 49. ad 36. et sic de aliis. In proposito autem quadratum diametri est duplum ad quadratum costae ; ergo non est proportio inter illa duo quadrata, sicut proportio numeri quadrati ad numerum quadratum ; igitur nec linea illa quae erat diametri quadrati, commensurabilis erit costae istius quadrati,et per consequens diameter est incommensurabilis costae quadrati. Expono tamen istam litteram, cum dicit, quod omnium quantitatum commensurabilium, proportio est ad invicem, sicut alicujus numeri ad aliquem numerum, id est,

quod si aliquae quantitates sint commensurabiles ad invicem secundum aliquam proportionem, puta duplam, vel triplam, vel sesquialteram, vel sesquitertiam, vel secundum aliquam aliam proportionem, erit talis proportio inter illas quantitates, qualis erit alicujus numeri ad alium numerum, ut si inter duas quantitates sit talis commensuratio quod una se habeat in proportione dupla da aliam, erit talis proportio qualis erit, puta numeri octo ad numerum quatuor quae est proportio dupla. Sequitur: Et per consequens sicut vult septima, si lineae aliquae sint commensurabiles, quadrata illarum se habebunt ad invicem, sicut numerus quadratus ad aliquem alium quadratum. Exemplum, nam 16. se habet in proportione dupla ad 8. et quadratum numeri 16. est et 56. et quadratum numeri 8. est 64. Sic si aliqua linea constet ex 16. punctis, et alia ex 8. quadratum lineae 16. in tali proportione se habet ad quadratum lineae 8. qualis proportio est numeri quadrati resultantis ex numero 16. in se multiplicato ad numerum quadratum resultantem ex numero 8. in se multiplicato. Sequitur : Igitur nec linea illa, quae erat diametri quadrati commensurabilis erit costae istius quadrati, id est, quod diameter, qui est linea diametraliter transiens ab uno angulo quadrati ad alium angulum, est incommensurabilis costae, id est. lineae laterali, quae est una pars quadrati, et dicitur incommensurabilis, quia in nulla proportione se habet ad illam ; patet, quia si esset aliqua proportio diametri ad costam, tunc quadratum diametri ad quadratum costae se haberet in tali proportione in quali se potest habere unum quadratum alicujus numeri ad alium quadratum alterius numeri ; sed nullum quadratum alicujus numeri, nunquam se habet in proportione dupla ad quadratum alicujus alterius numeri, ut supra dixi. Cum ergo quadratum diametri se habeat in proportione dupla ad quadratum costae, ut patet, quia quadratum diametri est aequale quadratis duarum costarum, ut patet in figura, et sic patet quomodo diameter est incummensurabilis costae.

(i) Si autem lineae istae componerentur ex punctis. Hic Doctor intendit probare principale intentum, scilicet quod continuum permanens non sit compositum fex punctis, quia si istae lineae permanentes, puta costa et diameter essent compositae ex punctis, tunc essent ad invicem commensurabiles, cujus oppositum probatum est supra. Quod autem essent commensurabiles, probat quia haberent se puncta unius ad puncta alterius in aliqua proportione numerali; patet, quia puncta in diametro essent in certo numero, quia cum sit linea finita, partes ejus aequales essent finitae, et illae partes sunt puncta ; igitur illa puncta essent in certo numero, modo omnis numerus alteri nnmero est commensurabilis, quia se habet in aliqua proportione, ut patet. Sequitur : Quaero, aut in punctis immediatis, aut mediatis. Si primo, igitur non plura puncta in diametro sunt quam in costa. Patet, quia dato quocumque puncto in costa, contingit ducere lineam rectam ad punctum oppositum in alia costa ; et sic posito quod in costa essent tantum centum puncta immediata, et ducerentur ab illis punctis centum lineae terminantes ad centum puncta alterius costae, illae lineae secabunt diametrum, si secent in centum punctis immediatis: ergo diameter erit aequalis costae, patet, quia tantum tot partes habebit tam in numero, quam in magnitudine, quot et costa. Sequitur :

Si in punctis mediatis, supple secet diametrum, accipio punctum medium inter illa duo puncta mediata diametri, a quo

trahatur linea in continuum et directum, illa cadet extra utramque lineam istam ex datis, et ab illo punito duco aeque distantem utrique lineae datae ex trigesimo primo primi Euclidis. Ista aeque distans dicatur in continuum et directum, scilicet a costa in costam (ex secunda parte primae petitionis primi) secabit costam, et in neutro ejus puncto dato. Patet, quia si duae primae lineae ducuntur a duobus punctis costae immediatis, et terminentur ad alia duo puncta immediata alterius costae, et illae duae lineae non secent diametrum in duobus punctis immediatis, sed inter illa duo puncta cadit punctus medius ; modo ab illo puncto medio diametri duco lineam aeque distantem illis duabus datis, quae secet costam, quaero in quo puncto secet, si aliquo puncto medio ; ergo illa duo puncta costae non erunt immediata, quod est contra positum ; si vero secent vel terminentur ad aliquem punctum istorum duorum, erit terminus duarum linearum, et sic concurreret cum illa linea, cum qua ponitur aeque distans, quod est contra definitionem aeque distlantium, quae est ultima definitio posita in primo. Nam lineae aeque distantes non possunt concurrere in eodem puncto, quia tunc constituerent Angelum, quod est contra definitionem aeque distantis, quae lineae aeque distantes dicuntur parallelae; igitur inter illa duo puncta, quae ponebantur immediata in costa, erit punctus medius, quod est contra positum. Sequitur : Sequitur ex hoc, quod dicebatur inter duo puncta diametri esse punctum medium, id est, quod sequitur inter duo puncta immediata in costa dari punctum medium, ex hoc quod conceditur inter duo puncta diametri, in quibus duae lineae costae secant diametrum dari punctum medium. Sequitur : Igitur ex opposito consequentis, sequitur oppositum antecedentis.

Antecedens est hoc : Inter illa duo puncta diametri datur punctus medius, et consequens est hoc : ergo inter illa duo puncta immediata in costa datur punctus medius. Oppositum hujus consequentis est hoc : inter illa duo puncta in costa non datur punctus medius, quod oppositum infert oppositum antecedentis, scilicet quod inter illa duo puncta diametri, non datur punctus medius, et sic sequitur principale intentum, videlicet quod diameter erit aequalis costae. Sequitur : Cum tamen principaliter tractet ibi de irrationalibus. Linea irrationalis sive surda, dicitur illa, quae est simpliciter incommensurabilis alteri lineae, ut patet ex decimo Euclidis.