COMMENTARIUS.

(a) Ex eodem etiam apparet improbatio alterius antecedentis de partibus minimis. In principio quaestionis in secundo argumento ponitur duplex antecedens. Primum, quod omne, continuum componitur es indivisibilibus. Secundum, quod omne continuum componitur ex minimis. Vide ibi. Dicit Doctor hic, quod est impossibile continuum componi ex partibus minimis, et probat hoc ex eodem medio, quo probavit continuum non posse componi ex punctis. Dicit ergo sic : Aut illud minimum posset praecise terminare lineam indivisibilem simpliciter, aut posset intercipi inter terminos duarum linearum. Si primo modo, tunc minimum ponitur simpliciter punctus indivisibilis, et tunc est idem ponere isto modo minimum, et simpliciter indivisibile pro parte, et sic pars lineae et punctus idem erunt, et sic erit idem dicere continuum componi ex minimis, sicut ex punctis. Sequitur : Si secundo modo. videlicet, quod tale minimum sit aliquid interceptum inter terminos duarum linearum ; si sic, ergo duae lineae protractae a centro, puta A, ad terminos talis minimi in circumferentia majore, et dicantur illi termini B C, ita quod includunt praecise tale minimum in illa circumferentia. Tunc quaero, aut illae lineae includunt aliquod minimum in circumferentia minore, aut praecise nihil includunt, sed omnino habent idem indivisibile continuans ipsas lineas. Si primo modo, igitur erunt tot minima in minori circulo, quot sunt in majori ; ergo circulus minor erit aequalis circulo majori. Si secundo modo, sequitur quod circumferentia minor secabitur in uno puncto a duabus rectis lineis exeuntibus ab eodem puncto, quod est improbatum in primo membro, quia sicut argutum est ibi, pars esset aequalis toti, formando ibi angulos, sicut in primo membro.

Gulielmus Occham in quodlib. 1. q. 9. recitat sub brevitate rationes Doctoris Mathematicas, praesertim illas, quae videntur procedere ex eodem medio, quo procedit secunda ratio, et respondet secundum aliquos, quas responsiones nititur infringere, et sic salvare rationes Doctoris. Et respondetur sic ad secundam rationem, quod si linea protracta a costa tangeret diametrum directe, tunc solum tangeret unum punctum in diametro, et alia linea alium punctum, et concluderet argumentum. Sed quia diameter longior est quam costa, ideo quaelibet linea protracta a costa in costam tanget diametrum oblique, et ideo ad minus tangit duo puncta diametri, et sic non concludit ratio, quod sint tot puncta in costa, quot in diametro ; et ponitur exemplum, quia si una virga cadat super aliam oblique, plus tangit de ea, quam si caderet super eam in directum per modum crucis, sicut apparet ad sensum, et sic est in proposito.

Contra, si propter hoc linea protracta a costa in costam per diametrum, tangit duo puncta diametri oblique, quia diameter est longior costa ; ergo retenta super eamdem longitudinem duarum costarum, si fiat diameter multo longior, poterit tunc numerus punctorum augeri, sicut augetur longitudo diametri, quod linea protracta a costa in costam tangeret oblique duo puncta diametri longioris, et secunda linea tria puncta, et tertia linea quatuor puncta, et in fine aliquis punctus illius lineae protractae per diametrum, tangit diametrum secundum longitudinem Unius pedis, vel domus, vel leucae, ex quo sequitur primo, quod illa linea protracta a costa in diametrum, non erit recta, quia punctus unius lineae tangentis diametrum movetur superius et inferius, quia ex quo ille punctus per te tanget multa puncta diametri oblique, et aliqua de illis sunt superius, aliqua inferius: ergo punctus iste tangens ista, movetur superius et inferius.

Secundo sequitur. quod punctus lineae tangentis diametrum, erit simul naturaliter in diversis Iocis vel sitibus, quia ex quo tangit sex puncta diametri, tunc erit naturaliter simul, et semel in sex sitibus cum illis punctis, quod est impossibile. Exemplum de virga, vel de quocumque alio corpore tangente directe vel oblique aliquod corpus, non est ad propositum, quia quando virga, vel aliud corpus cadit super aliud oblique, tunc multae partes virgae cadentis tangunt multas partes alterius virgae, quas prius non tangebant, et sunt aliae partes cadentis et tangentis, quando tangunt oblique, quam quando tangunt recte, sicut manifeste patet ad sensum; et ideo non est mirum, si plures paries tangant, quando virga cadit oblique, quam quando cadit recte. Nunc autem in proposito semper est idem punctus lineae tangentis diametrum directe et oblique, ideo non est ad propositum.

Item, arguo ad principale, quod tunc essent aequalia puncta in minori circulo, et in majori, quia a quolibet puncto majoris circuli per circulum minorem ad centrum commune utriusque circuli, potest trabi linea recta, imo ex linea recta posita hypothesi, qua tamen lineae non coincidunt circa centrum. Aut ergo duae. lineae protractae, a duobus punctis immediatis circuli majoris transibunt per duo puncta circuli minoris, vel per unum tantum. Si primo modo, habetur propositum, quod tot sunt puncta in minori circulo,

quot sunt in majori. Si secundo modo, contra : Illae lineae sunt rectae et aeque distantes, similiter si illae duae lineae coincidunt in eumdem punctum circuli minoris, tunc ille punctus minoris circuli, in quo coincidunt coexistet duobus punctis immediatis duarum linearum immediatarum, et eadem ratione potest coexistere tribus punctis trium linearum tertii circuli majoris, et sic potest coexistere mille punctis alicujus circuli magni in tali proportione excedentis illum parvum circulum, et tunc sequitur necessario, quod ille punctus sic coexistens centum aliis punctis, sit longus sine pluralitate punctorum, vel linea circumferentialis sibi correspondens. Si dicas, quod idem argumentum est de lineis corporalibus transeuntibus a majori circulo ad centrum per minorem circulum, quia ille semper magis et magis approximantur ; aut ergo illae lineae corporales transibunt per aliam et aliam partem circuli minoris, et sic erunt aequales partes in utroque circulo ; aut per eamdem, et tunc illa pars per majoritatem circulorum corresponderet mille partibus, et esset in mille sitibus.

Respondeo, quod non sequitur propter diversitatem illarum linearum et circulorum in infinitum, qui non est aliqua pars in majori, quin sibi correspondeat aliqua pars in minori circulo, licet multo minor correspondeat. Patet hoc ad sensum, si fiant circuli, et ideo non sequitur, quod sint aequales paries ejusdem quantitatis, sed si componatur ex punctis, tunc duobus punctis immediatis in majori circulo, aut correspondent duo puncta immediata in minori, quia minus non potest correspondere in parvo circulo, quia quilibet punctus est indivisibilis, aut idem punctus corresponderet utrique. Si primo modo, aequalia erunt puncta utriusque circuli. Si secundo modo, tunc erit idem punctus in diversis sitibus, sicut dictura est. (b) Imo sequitur absurdius. Hic Doctor deducit ad majus inconveniens, videlicet quod si illae lineae in circumferentia majore includit illud minimum, quod non est praecise terminans unam lineam, si ducatur a termino unius lineae ad terminum alterius lineae, una linea recta secundum primam petitionem Euclidis, erit basis trianguli duorum laterum, qui videlicet triangulus constituetur ex linea D B, et D A, inter quae B C, intercipitur minimum, et tunc linea ducta a B ad C, erit basis illius trianguli, et tunc illa linea qua est basis, poterit dividi in duo aequalia secundum decimam primi; igitur illud interceptum non fuit minimum, quod tamen datum est esse minimum, imo sequitur quod si ducatur aliqua alia linea aeque distans a basi trianguli, in triangulo tamen, illa erit minor illa basi ex 21. primi, et ita erit minus minimo. Ibi sequitur : Similiter ista positio si ano modo, sive alio modo, id est, sive teneat continuum componi ex divisibilibus, sive teneat continuum componi ex minimis : si tamen minimum intelligatur aliquid, quod non habeat partem et partem in toto, concludit etiam commensurabilitatem diametri ad costam, imo concludit aequalitatem, sicut ponendo indivisibilia constituere continue.