ARTICULUS I.

Quaedam distinctiones generales ad elementorum proportionalitatem pertinentes.

Quantum ad primum, sciendum est, quod in proposito accipimus elementa, pro primis corporibus actu existentibus, ex quibus generabilia, et corruptibilia nata sunt componi, sicut sunt, ignis, aer, aqua, terra.

Secundo sciendum est, quod in proposito capimus elementum terrae pro ipsa terra, et pro omnibus mixtis generatis infra et supra terram; et aquam, pro aqua, et illis quae continentur infra locum aquae.

Tertio est sciendum, quod proportio est duarum qualitatum ejusdem generis unius ad alteram certa relatio in quantitate; verbi gratia, proportio dupla, sicut duorum ad unum est certa relatio istorum duorum numerorum, qui sunt ejusdem generis in quantitate. Proportio dividitur in tres species, scilicet in proportionem aequalitatis, majoris inaequalitatis, et proportionem minoris inaequalitatis. Proportio aequalitatis est habitudo duarum qualitatum aequalium ad invicem, sicut proportio duorum ad duo, et talis non habet plures species, imo consistit in indivisibili.

Sed proportio majoris inaequalitatis est habitudo majoris qualitatis ad minorem, sicut trium ad duo est proportio sesquialtera. Et ista proportio majoris inaequalitatis subdividitur in proportionem multiplicem, superparticularem, te superpartientem, et quaelibet illarum dividitur in species infinitas.

Sed proportio minoris inaequalitatis est habitudo minoris qualitatis ad majorem, sicut duorum ad quatuor est proportio subdupla, et ista subdividitur in proportionem submultiplicem, subsuperparticularem, et subsuperpartientem, et quaelibet illarum dividitur in species infinitas proportionales speciebus proportionum majoris inaequalitatis.

Quarto sciendum est, quod proportionalitas est similitudo proportionis. Sicut si dicatur quod sicut se habet octo ad quatuor, ita quatuor ad duo, et talis proportionalitas est triplex; nam quaedam est Arithmetica; quaedam Geometrica; quaedam Harmonica.

Proportionalitas Arithemetica est illa, quae attenditur penes aequalitatem differentiarum unius, qualitatis ad aliam, sicut dicendo scilicet quatuor duo, et vocatur differentia in proportione excessus, quo major quantitas excedit minorem, sic et dicitur excessus sex ad quatuor.

Sed proportionalitas Geometrica consistit in aequalitate proportionum, sicut dicendo 8. 4. 2. 1; nam qualis est proportio 8. ad 4. eadem est proportio duorum ad unum.

Quinto sciendum est, quod quaelibet istarum proportionum potest esse duplex, scilicet continua, et discontinua.

Proportionalitas continua est, cum quilibet terminus est antecedens, et consequens praeter primum et ultimum. Nam primus terminus est tantum antecedens, et ultimus tantum consequens, verbi gratia, si dicatur, qualis est proportio inter octo et quatuor, talis est proportio quatuor ad duo, et duorum ad unum: in ista proportione iste terminus oclo primus est antecedens tantum, et ille terminus, unum, qui est ultimus, est tantum consequens, sed duo termini intermedii scilicet duo et qualuor, quilibet illorum est antecedens et consequens.

Sed proportionalitas discontinua est, quando nullus terminus est: antecedens et consequens, vel antecedens tantum, vel consequens tantum, sicut, verbi gratia, dicendo, qualis est proportio sex ad tria, talis est proportio quatuor ad duo; in ista enim similitudine proportionum nullus terminus est simul antecedens et consequens, sed quilibet vel tantum antecedens est, vel tantum consequens.

Sexto sciendum est, quod proportionalitas harmonica vocatur, cum eadem est proportio maximi termini ad minimum, et differentia maximi termini ad medium ad differentiam medii ad minimum, verbi, gratia 6. 4. 3. eadem est proportio 6. ad 3. scilicet maximi termini ad minimum, quae est proporlio duorum, quae differentia est inter 6. et 4. ad unum, quod est differentia inter 4. et 3.

Septimo, sciendum quod elementa possunt imaginari esse proportionalia, vel improportionalia: et si proportionalia, vel continue, vel discontinue; et iterum vel in magnitudine, vel in qualitatibus primis, vel in qualitatibus secundis, cujusmodi sunt gravitas, levitas, raritas, densitas, spissitudo, tenuitas. Et hoc de primo.