CAPUT V.

De reprehensione Zenonis qui dixit quod si motus est, convenit transire infinitum in tempore finito, et qualiter hoc convenit, et qualiter non.

Ex praedictis patet, quod ratio Zeno- iiis qua destruit motum, assumit aliquid falsum quod Zeno opinatur esse verum: hoc autem falsum est illud quod Zeno assumpsit, quod impossibile est quod aliquod motum pertranseat infinita quae sunt in continuo, vel ut tangat ea secundum unumquodque in tempore finito: et sic processit Zeno. Omne quod movetur, in aliquo tempore movetur in quo perficitur motus ejus: quod autem movetur in tempore in quo perficitur motus ejus, movetur in tempore finito: sed omne quod movetur in tempore finito per spatium, alicujus magnitudinis transit tangendo omnia secundum unumquodque eorum quae sunt in spatio in tempore finito. Sed quae sunt in continuo spatio sunt infinita: ergo id quod movetur, transit tangendo infinita secundum unumquodque in tempore finito, quod est impossibile: ergo et motum esse est impossibile, quia hoc sequitur si detur esse motus, Falsum autem opinatur Zeno in hac ratione, cum dicit magnitudo nem infinitam et templis infinitum: quia quoad finitum esse vel infinitum ejusdem rationis sunt tempus et magnitudo. Dupliciter enim dicitur magnitudo et tempus, et sic omne continuum esse infinitum: aut enim dicitur infinitum secundum divisionem, eo quod divisibile est in infinitum: aut dicitur infinitum actu, quod est in ultimis, hoc est, in distantia suarum extremitatum infinitum: et hoc diximus supra esse infinitum vel extensionem in rectum: et verum quidem est, quod taliter infinitis secundum quantitatis actualem extensionem non convenit se tangere in tempore finito: quia cum talia infinita ultima non habeant, nunquam contingent se his quae non habent: quod si etiam ultima haberent, quod tamen esset contra rationem infinitorum hoc modo dictorum, non contingent se in suis ultimis: quia sua media quae actu sunt infinitae extensionis, nunquam pertransire possent: et hoc modo si esset infinita magnitudo, verum diceret Zeno: sed ostensum est supra in tertio hujus scientiae, quod hoc modo nihil est infinitum. Eis autem quae sunt infinita secundum divisionem, eo quod dividuntur in infinitum, convenit hoc modo transire infinita, quae contingunt se in. continuo: quia illa infinita non sunt actu, sed potentia: et hoc modo etiam ipsum tempus est infinitum: et ideo in tempore hoc modo infinito quod non est infinitae divisionis, convenit id quod movetur, transire in infinitum secundum divisionem: sicut etiam continuum spatium: et hoc modo convenit, quod potentia se tangunt infinita in ipsis quae hoc modo sunt infinita, quae sunt continua, et ideo non finita per divisionem. Sed si daretur aliquid esse actu per extensionem infinitum, id non posset transire spatium finitum, nedum infinitum in tempore finito, nec etiam in tempore infinito: quia si transiret, tunc aliquando ultimum ejus confingeret ultimum spatii: et sic oporteret quod esset finitum: et hoc est contra hypothesim, qua positum fuit ipsum esse

infinitum. Sed oportet dicere quod per modum illum quo tempus est infinitum, quod per eumdem modum magnitudo est infinita, et e converso si magnitudo est infinita per aliquem modum, per eumdem erit tempus infinitum. Hoc ostenditur per demonstrationem ducentem ad impossibile per hunc modum.

Si enim adversarius det magnitudinem aliquam finitam esse, et tempus mensurans motum esse infinitum, signetur magnitudo recta finita utrumque finem habens per lineam a b: tempus autem infinitum adaequatum motui qui est supra ipsum, signetur per litteras c d. Oportet autem necessario, quod tempus illud finitum sit ad unam suam extremitatem in qua incipit motus: quia ad utramque suam extremitatem non potest imaginari infinitum esse ex parte: ergo finitae extremitatis temporis resecemus ex tempore partem finitam quae signetur per litteras sig. d: et incipiat motus temporis motum magnitudinis in extremitate lineae a b, in parte quae signatur per b: illud ergo quod signatur per lineam a b in parte finita temporis quam resecamus ab infinito tempore, aliam partem magnitudinis transibit: et sit illa signata per lineam b e, quae est pars totius lineae a B. Pars ergo illa quae est b e, aut est pars aliquota lineae a b, ita quod sit dimidia, vel tertia, vel quarta, et sic deinceps: aut deficit ab aliquota, ita quod est minor: aut excellit aliquotam, ita quod est major. Sicut si velles accipere partes ejus quod est sex, aliquotae partes suae essent quae aliquoties sumptae constituerent totum sicut tria essent dimidia, et duo essent dimidia, et duo essent tertia, et unum esset sexta. Pars deficiens ab aliquota est, sicut si velles accipere octo, deficiens a dimidia esset ternarius, et excedens aliquotam esset quinarius et senarius et septenarius: et hoc modo dicitur pars quae minor est toto, cum ta- men sit in ipso. Si ergo diceremus, quod linea B e aliquota esset lineae a b totius, tunc oportet quod mensuret totum et reddat ipsum si iteretur toties in toto quot unitates habet numerus a quo denominatur, ut si est altera vel iterata, reddet totum : et si est tertia, tunc iterata constituet totum, et sic de aliis. Constat autem quod aequaliter velox motu regulari aequales partes spatii transivit in partibus aequalibus. Si ergo transivit partem quae est b e in tempore g d, alias partes transibit in tot temporibus aequalibus illi, quot sunt partes aequales lineae b e et tota linea a b : sed quod componitur ex aequalibus finitis aliquotis, est finitum : ergo tempus motus qui est super lineam a b erit finitum : et dictum fuerat, quod erat infinitum. Si autem dicatur quod pars illa quae dicta est b e deficit aut excellit, idem sequitur : quia tunc linea componitur ex parte minori et parte majori, ita et motus super ipsam, et tunc tempus adaequatur motui : tunc oportet quod et totum tempus componatur ex majori et minori finitis, et tunc totum erit finitum : et dictum erat, quod esset infinitum. Hoc autem totum sequitur propter illud quod semper per aequalia additur magnitudo et motus et tempus : quia tantus est motus, quanta est magnitudo spatii in quo est motus : et quantus est motus, tantum est mensurans ipsum.

Amplius autem si dicat adversarius, quod bene verum est, quod non omnem magnitudinem transibit in tempore infinito, sed transibit aliquam in tempore finito, sicut illam quae est partium, sed tamen illam quae est totius, secundum se transibit in tempore infinito. Probabitur iterum non posse stare quod dicit. Intendit enim sic dicens, quod illam magnitudinem quae est parlis quae dicitur b c transibit ipsam in tempore finito, cum illa sive sit aliquota, sive excellat, sive

deficiat ab aliquota, semper reddat totum : et concessum est, quod aequaliter velox in aequalibus temporibus aequales partes transit: oportet necessario sicut prius, quod tempus ex finitis compositum sit finitum : quia totum continuum et quantitativum non habet quantitatem, nisi illam quae ex partium quantitate est. Si forte dicat adversarius iterum, quod etiam paries transit in infinito tempore, sicut partem quae est b e, ostendemus hoc esse falsum. Sicut enim diximus, oportet quod tempus tale in altera extremitate sumatur finitum. Hoc autem dato accipiemus propositionem per se manifestam, quae est, quod omne quod transit aliquod spatium, aequaliter velox in toto spatio existens, in minori tempore transit partem illius spatii, quam totum spatium : ergo illud quod movetur super spatium a b, in minori transibit hanc partem quae est b e, quam totum. Sed quod minus infinito necesse est finitum esse, cum infinita omnia aequalia sunt : ergo partem b e et simili ratione alias partes transit in tempore finito. Sed prius habitum est, quod illa parte temporis finita necesse est alias finitas esse : ergo totum tempus est finitum. Haec autem demonstratio figuratur in lineis hoc modo , quia linea magnitudinis et spatii finita sic ponatur, ut primus terminus ejus praenotetur littera b, et ultimus terminus signetur littera a : et pars ejus quaecumque fuerit, sive aliquota, sive deficiens, sive excellens eam, significetur versus b per e litteram : sub illa autem linea ducatur linea designans tempus infinitum, quae quidem finita sit in extremitate prima versus b, et illa extremitas significetur per g litteram, et ab altera parte ducatur in infinitum, et pars temporis in qua est motus b e significetur per litteram d, sicut hic vides.

Eadem autem demonstratio conversa demonstrabit impossibile si dicatur ma- gniludo esse infinita in altera extremitate, et super illam esse motum qui mensuretur tempore finito: quoniam tunc eodem modo ab infinita magnitudine ex parte extremitatis finitae secabimus partem super quam est motus in parte temporis finiti, et probabimus quod illa pars mensurabit totam magnitudinem, et sic erit linita. Manifestum est igitur ex his quae a principio istius sexti dicta sunt, quia neque linea, neque planum quod est superficies, neque universaliter aliquid quod est de numero continuorum compositum est ex atomis: et hoc non solum ex dictis manifestum est, sed etiam ex eo quod dicemus in sequenti capitulo, scilicet quod sequeretur dividi indivisibile. Quod enim continuum fit indivisibile in ea quae semper sunt divisibilia, et non sit compositum ex atomis, tripliciter declarari potest: quorum unus modus est per diffinitionem et naturam contigui et contingentis . Alter est per naturam motus, et ejus quod movetur: et hi duo modi habiti sunt. Restat adhuc tertius, qui in sequenti capitulo ponetur, ex proprietate velocioris et tardioris,