CAPUT I.

De solutione rationum Zenonis quae sunt quatuor.

Ex. omnibus autem praehabitis non est difficile videre causam deceptionis Zenonis, in rationibus quas induxit ad motus destructionem. Paralogizat enim ipse seipsum et alios, et deratiocinatur secundum aequivocationis sophisma occultum, et secundum hoc quod falsum supponit. Dicit enim sic: omne quod est, aut movetur, aut quiescit, quando est secundum aequale sibi spatium in magnitudine: sed impossibile est quod moveatur quando est secundum aequale spatium sibi, eo quod motus est processus de uno loco ad alium, unus autem et alius locus non sunt aequale aliquid rei motae, sed majus: ergo quod est secundum aequale sibi in spatio, non movetur: ergo quiescit secundum quod fertur in ipso, fscmper quiescit secundum aequale sibi in. spatio: ergo id quod fertur, quiescit se-

cundum aequale sibi in spatio: ergo id quod fertur, quiescit in toto spatio. Quod autem id quod fertur, sit in nunc, probat Zeno ex hoc quod nunc nihil aliud est nisi numerus ejus quod fertur in motu, sicut tempus est numerus loci mutationis, sicut patet ex his quae dicta sunt in quarto. Ex his ulterius est tragoedia, id. est, increpatio contra eos qui motum esse asserebant, inferebat Zeno et saadl- tam, quae velocissime videtur ferri, immobilem esse.

Est autem in hac argumentatione falsum supponens et paralogizans secundum

aequivocationem: quod enim supponit, quod id quod quiescit, quiescat in nunc, falsum est, et patet ex praedictis. Credebat enim, quod sicut est privatio motus, quod etiam, ita esset privatio mensurae motus quae est tempus: et hoc falsum est: quia privatio non privat nisi id. quod ei opponitur: tempus autem non opponitur ei: et ideo non. privat tempus ipsum.

Si. quis autem objiciat, quod mutus est causa, temporis: et ideo privata causa, necesse est effectum privari: et sic redit inconveniens Zenonis, scilicet quietem esse in nunc. Dicendum quod nec motus in genere, nec in specie causat tempus, sed potius unus quidam motus mobilis primi: et ideo privato hoc motu vel illo, non privatur propter hoc ille primus motus: ille enim semper est: et ideo tempus privari non potest. Secundum, falsum est quod Zeno supponebat, quod id quod fertur in ipso nunc, est in qualibet parte spatii: quia si ita est, ut dicit, tunc motus non est continuus, sed essent infinita quietes vel moventia in quibus mobile est hoc modo, et post in alio nunc ibi, et sic deinceps secundum partes spatii: et sic oporteret quod tempus componeretur ex ipsis nunc, et spatium componeretur ex. indivisibilibus: quae omnia supra sunt improbata: unde licet nunc sit numerus ejus quod fertur, tamen sicut id quod fertur, non est in alia parte spatii determinate nisi in potentia, et in actu semper est partim a quo, et partim ad quem dum est in motu: ita nunc non est in tempore quod mensurat motum, et infinite motus erit locus ad quem est motus actu locus ejus quod fertur: et ideo non erit actu terminus temporis, quod mensurat motum: et hoc est quod diximus supra in tractatu de tempore: quia sicut id quod fertur, fertur semper de priori in posterius in spatio, ita quod nunc secundum esse suum fluit semper de priori in posterius in tempore: et ideo nunc numerando id quod fertur secundum id quod fertur, constituit tempus: sicut ejus quod fertur proprius actus est motus, cujus tempus nunc est. Paralogizat autem Zeno secundum fallaciam aequivocationis, quando dicit, quod id quod est secundum aequale sibi in spatio, non movetur: id autem quod videtur ferri, est secundum aequale sibi: ergo non movetur. In prima enim propositione, quando dicit quod id quod est aequale sibi, non moveri, stat id quod dicitur aequale sibi, pro loco determinato secundum actum:

et hoc modo verum est quod est secundum aequale sibi in spatio, non moveri. In minori autem propositione hoc ipsum aequale sibi stat pro aequali secundum potentiam: quia id quod fertur, non est secundum aequale sibi in spatio nisi secundum potentiam: et sic aequivoce utitur medio termino sui syllogismi: propter quod incidit fallacia aequivocationis, et sic paralogizat.

Sunt autem praecipue quatuor ratiotioiics quas inducit ad probandum quod non est motus, quae ingerunt difficultatem volentibus eas solvere. Et primum quidem est quod dixit, quod omne quod movetur per spatium aliquod, oportet prius accedere per motum ad medium illius spatii quam accedat ad finem ejusdem: ergo eadem ratione prius accedet ad medium illius medii quam ad finem ejusdem, et iterum ad medietatem illius medii, et sic in infinitum: ergo in tempore finito in quo dicitur aliquid moveri, pertransit infinitum secundum numerum: ex infinitis autem per numerum componitur infinitum per ultima: ergo in tempore finito id quod movetur, pertransit infinitum: et hoc jam superius impossibile esse ostensum est ''Hanc autem rationem distinguendo jam ad hominem solvimus in superioribus rationibus, ubi distinximus quod infinitum dicitur dupliciter, scilicet potentia, sicut in divisione continui: et actu, sicut infinitum secundum ultima: et ostendimus ibi, quod non est inconveniens, quod infinitum potentia per divisionem pertranseatur in tempore actu finito, quod etiam infinitum est potentia, sicut quodlibet continuum dividitur in infinitum. Ex talibus enim infinitis, cum non sit nisi potentia, non componitur infinitum actu. lnfra tamen solvemus hanc rationem ad rem cum sequenti ratione: quia non

sumus contenti solutione ad hominem, eo quod volumus veritatem rei certificare.

Secundam autem rationem quam propter fortitudinem conclusionis vocavit Achillem, eo quod esset invincibilis, ut arbitrabatur, induxit dicens, quod si motus esset tardissimum praecedens, nunquam posset attingere velocissimum, quod sequitur ipsum in spatio in eodem tempore motus : cujus causam esse dixit, quia in tempore in quo velocissimum sequitur in spatio in quo praecessit ipsum tardissimum, pertransit tardissimum aliquid de spatio ulterius : et cum velocissimum iterum transit illud spatium, tunc iterum tardissimum transit aliquid ulterius, et sic in infinitum. Cujus exemplum est si ponamus limaccm pertransire in spatio leucam, et postea velocissimum equum insequi limacem : tunc enim dixit Zeno, quod equus nunquam consequitur limacem . Necesse enim est quod aliqua proportio sit ad motum limacis : tunc enim quando equus pertransit leucam, qua limax fuit ante equum, limax pertransivit millesimam leucae ulterius in spatio : et quando equus pertransit illam millesimam, tunc limax iterum pertransit millesimam millesimae, et sic in infinitum : ergo semper limax est ante equum : ergo tardissimum nunquam assequitur a velocissimo insequente, quod est inconveniens : ergo non est motus.

Est autem haec ratio re eadem praecedenti : quia fundatur super illam, quod illud nunquam sequitur nisi per divisionem spatii, quam Zeno actu opinatus est fieri in motu : sed differt ratio haec secundum sermonem, quia non utitur in eadem divisione in duo media et iterum divisione medii in media, sed uti- tur velocissimo et tardissimo : cum tamen ex ratione divisionis sequatur velocissimum non posse comprehendere tardissimum : et ideo haec ratio eadem sit illi quae est per divisionis rationem in duo media magnitudine accepta, super quam dicitur esse motus. Jn utraque autem harum rationum accidit, quod non potest contingi terminus magnitudinis, propter hoc quod modo quodam dividitur in infinita ab eo quod movetur super eam accipiendo medias partes ante ultimam. Sed ipse apponit in secunda ratione, quod neque id quod est velocissimum, consequitur tardissimum : et hoc potius est tragoedia, hoc est, vituperia eorum qui motum esse dicunt. Dictum est illud quod variet medium rationis prioris : et ideo etiam necesse est, quod ad utramque istarum rationum solutio sit eadem. Dicimus igitur quod falsum est quod dicit, quod velocissimum non comprehendit tardissimum praecedens : et hoc patet ex ratione velocis et tardi prius posita. Velox enim est quod in aequali tempore movetur plus quam tardum. Omne quod in eodem tempore movetur plus, aliquando comprehendet id quod movetur minus : ergo velox comprehendet tardum. Verumtamen est, quod in quantum istud praecedit, et illud sequitur, non comprehendet, si utrumque acciperet hoc modo ea quae potentia sunt in spatio, sicut dicit Zeno : sed non sic accipit, sed potius determinatam et finitam accipit quantitatem habentia : et hoc modo plus accipit de spatio velox quam tardum in aequali tempore : et ideo non comprehendet: id enim quod fertur non transit per spatia hoc modo dividendo, sicut fit divisio in infinitum : quia tunc oporteret, quod in secunda hora motus sui minus transiret quam in prima: sicut quando dividitur continuum in infinitum, prima divisio relinquit majores partes quam secunda, et secunda majores relinquit partes quam tertia, et sic in infinitum. Non autem sic fertur id quod fertur per spatium, sive regulariter,

sive Irregulariter moveatur. Si enim movetur regulariter partibus aequalibus, accipit partes aequales spatii sicut moventur caelestia. Si autem irregulariter moveatur, tunc forte processu temporis accipit majores, et forte minores. In motu enim naturali accipit majores. In motu violento aliquando majores, sicut post principium motus: et aliquando minores, sicut circa finem motus. Constat ergo quod accipit partes aliquotam spatii, et determinatas et finitas: et sic necessario id quod est velox aliquando consequitur tardum: istae ergo sunt duae rationes Zenonis.

Tertia autem ratio Zenonis est quae nunc dicta est in principio istius sermonis, scilicet quod sagitta stat, eo quod est in nunc in aequali sibi in loco in. spatio: et illius solutio patet ex. principio istius capituli. Ista enim ratio non. consequitur, nisi dicamus tempus componi ex ipsis nunc, ita quod tempus nihil aliud sit quam aggregatio ipsorum nunc, et motus aggregatio momentorum: et id quod fertur, sit per vices in aequalibus sibi in spatio: et si hoc non concedatur, tunc non potest facere syllogismum. Hoc autem qualiter sit et qualiter solvatur, satis a principio capituli dictum est.

Quartam antem rationem inducit Zeno ex similitudinee oram quae moventur sicut homines moventur super stadium, quorum unus currit contra alium, ita quod aequales magnitudines moveantur juxta aequales magnitudines quiescentes, quarum quaedam moventur a fine stadii moti, et aliae a medio stadii quiescentis et moveantur aequali velocitate. In hac enim positione sic putat consequi inconveniens, quod scilicet dimidium aequale fiat duo duplici tempori.

Deceptio autem qua decipitur, est ex hoc quod ipse vult aequalem magnitudinem cum sua aequali, quae est aequalis velocitatis cum alia sibi simili secundum tempus aequale, moveri in spatio quod extra magnitudinem motam movetur, et in eo quod extra magnitudinem motam quiescit: et hoc non est verum: quia aequales magnitudines quae aeque velociter moventur, non moventur secundum aequale tempus, nisi in spatio aequali quod. extra magnitudines illas quiescit. Sed si una carum movetur in spatio quiescente, et ali a in magnitudine mota, tunc non transeunt aequales magnitudines in tempore aequali: sed in quo tempore dimidium una transit magnitudinis quiescentis, in eo alia transit totam magnitudinem extra se motam. His autem exemplum est ut sint magnitudines duae sic directe conjunctae., et quiescentes a a a, et conjungantur in puncto cui praenotatur media a, ita quod sit quasi, magnitudo una. Aliae autem magnitudines signentur per e b b conjunctae in media b, quasi sint magnitudo una, et sint motae, ita quod motus earum incipiat a media littera a in qua signantur conjungi duae magnitudines quiescentes, et moveantur ad unam partem quamcumque voluerimus, verbi gratia, versus dextram, sintque magnitudines quiescentes et motae per omnia aequalia. Istae igitur magnitudines motae moventur in quiescentibus, et non pertranseunt nisi dimidium magnitudinum quiescentium: et ideo si in toto tempore magnitudo mota transit totam magnitudinem quiescentem, tunc in dimidio tempore transit dimidiam, cum positum sit esse aequalis velocitatis et regularis motus. Sint iterum duae aliae magnitudines motae, quae praesignentur litteris ccc, quae etiam sint aequales numero et quantitate prioribus, et sint motae aeque velociter cum illis quae signantur per tria b b B, et dispositio in quod moveantur ab ultimo B contrario motu versus sinistram: et haec dispositio sic signatur, sicut hic videre potes. Tali enim hypothesi facta, convellit necessario quod quando primum B quod est simul sub primo c, eo quod c positum est moveri super ipsum, est sub ultimo a, quod tunc est etiam sub eodem primum c sed ultimum a vocatur, non quod dispositione est ultimum in figura, sed potius in quo ultimum b sicut in fine motus movetur: et hoc quidem accidit inter duas magnitudines quae ab invicem moventur, ita quod una contra aliam e contrario: quia una movetur ad dextram, et alia ad sinistram, Accidit autem in hac positione, quod ipsum c quod est magnitudo mota super magnitudinem contra se motam transit id quod est juxta omnia a a a, et hoc est b b b, quia hoc positum est esse juxta omnia a a a, et accidit in eodem tempore, quia magnitudo B quae est etiam magnitudo mota, modo transit nisi media spatia quae signantur per a a a, et sic convenit secundum Zenonem duplum tempus esse aequate dimidio: eo quod positum est quod utrumque spatiorum motorum aequale sit ad unumquodque motorum spatiorum et quiescentium: et ideo unum debet esse tempus motus corum. Sequitur enim quod c c c est cum ultimo a, quod tunc translatum est per omnia c c c, et sic in eodem tempore in quo transit dimidium spatium, a a a transit totum spatium ccc, quia in contrariis motibus in uno et eodem momento primum b et primum c simul sunt in contrariis finibus sive ultimis, quorum ultima sunt secundum omnia bbb, quae sunt tanta secundum numerum et extensionem, quantum, est unumquodque eorum quae sunt a a a, Haec autem omnia, quia, sicut diximus, obscure posuit Zeno, sicut recitat Aristoteles in suo sexto Physicorum, nos quod obscure positum est, clare posuimus sic. Retenta enim positione et figura suppositis, dicimus hanc positionem esse per se notam, quod si alia magnitudo regularis motus in toto tempore aliquo transit totum spatium aliquod, quod in dimidio illius temporis transit dimidium. Item hanc dicimus per

se notam, quod duae magnitudines veloces duo aequalia spatia transeunt in tempore uno et aequali.

Exilis igitur arguimus, quod si magnitudo bbb transit totum spatium a a a in toto tempore aliquo, in dimidio illius temporis transit dimidium spatium ejusdem. Sed positum est quod incipiat moveri a medio a: ergo in dimidio tempore transivit medium magnitudinis: sed aequales sunt magnitudines a et b, et aequalis velocitatis sunt b et c macrnitudiues: ergo in. aequali tempore transit magnitudo b totam magnitudinem a, et magnitudo c totam magnitudinem b, sicut dicit secunda propositio. Propositione autem superiori retenta, quando primum B est sub ultimo a in figura, tunc ultimum B est sub primo a ejusdem figurae. Sed quando primum b est sub ultimo a, tunc primum c est sub primo a moveri motu contrario. Sed quando ultimum b est sub primo a, tunc primum c est sub eodem primo a: ergo cum. ultimo B: ergo c tunc transivit per omnia b: ergo in tempore in quo b transit per dimidia a, in eodem o transit per dimidia b: sed in dimidio tempore b transit per dimidia a: ergo in dimidio tempore b transit c per omnia b. Datum autem erat quod in toto tempore transit per omnia b, quia omnia b sunt dupla ad dimidia a: ergo fotum tempus duplum aequale est dimidio. Haec igitur est ratio Zenonis, et accidit ad falsitatem supra dictam, et est fallacia secundum quid ad simpliciter in argumento. Quod enim dicitur, quod. si. aliquid in dimidio tempore transit dimidium spatium secundum regularem motum, quod in duplo illius temporis transit totum spatium, arbitratur Zeno esse verum simpliciter in omni spatio, tam contra id quod fertur motu quam quiescente: et non est verum, nisi in spatio quiescente. Si enim aliquis vadat Parisios, et ponamus quod aeque velociter ut ipse peragit spatium, veniat contra illum, ille dimidio tempore veniet Parisios quam veniret si spatium staret, Et si quaeratur utrum simile istius in natura motus habetur ? Dicendum quod in luna: illius enim aux. contra lunam movetur, propter quod in dimidio sui circuli sibi obviat luna, et aux bis in una lunatione. Et sic patet solutio rationum quas Zeno de motu locali induxit secundum quod sufficit ad praesens. Infra enim cum de lineis indivisibilibus loquemur, redibimus adhuc ut dicamus aliquid de istis rationibus Zenonis. Sed quia Zeno non solum contradixit motui locali, sed etiam aliis motibus, oportet nos ostendero falsitatem rationum suarum etiam in illis.