CAPUT VI.

Quod punctum per divisionem non aufertur ex linea.

Ostendemus autem deinceps, quod punctum non potest auferri per divisionem ex linea: et tunc omnino manifestum erit, quod linea non est ex punctis.

Si enim esset ex punctis, tunc punctum per divisionem posset auferri de linea. Dicimus igitur quod non convenit per divisionem punctum auferri de linea. Si autem detur quod manifestatur punctum seorsum a linea divisum, tunc etiam oportet concedere quod convenit apponi ad lineam. Omne enim quod dividitur, ex aliquo iterato potest componi cum eodem. Quod autem componitur cum aliquo, necesse est ex his duobus posse componi quoddam totum. Composito autem toto, necessario totum illud majus erit non ex principio composito, hoc est, ei ex principio non erit compositum, si tale sit quod componitur cum aliquo ad totius alicujus constitutionem: quare absque dubio convenit ex. his duobus unum totum facere, et unum totum exilis duobus sic facere, nihil aliud erit nisi quod linea composita sit: fit tunc major linea puncto, hoc est, linea et puncto divisim acceptis: hoc autem impossibile est, quia punctum nullam aufert quantitatem: ergo non convenit per divisionem punctum a linea separare.

Sed forte diceret aliquis, quod per se et secundum seipsam essentialiter non convenit lineam in puncta separare, sed secundum accidens bene quidem convenit punctum auferre a linea. Aufert enim se invicem linea, et punctum in ablata linea, si toto ablato quod est linea, principium et finis aufertur: et conceditur quod aptum est secundum materiam, lineae principium et finis etiam punctum est lineae: et his ablatis in ablata linea convenit etiam auferre punctum: quia ablata linea aufertur punctum quod est in linea. Haec autem ablatio est secundum accidens: et de hac non loquimur, quia de ista non probatur quod linea dividatur in puncta. Si autem ponatur separari a linea ut terminus indivisibilis in quo stat divisio, tunc dicitur ab istis tangere lineam. Et si tangat, tunc sequitur quod neque terminus est, sicut in sexto Physicorum probatum est : omne enim tangens tangit secundum aliquid aliud quam ipsum sit: et ideo si terminus tangit, tunc terminus habet aliud quam ipsum secundum quod tangit: et tunc non est terminus, quia necessario est divisibilis, cum omnis terminus indivisibilis sit: et si non est terminus, tunc non est terminus ipsius vel eorum quorum dicebatur esse terminus. Pune tum autem quod est terminus secundum istos veritatis adversarios, tangit lineam: et sic sequitur, quod non sit terminus. Si igitur hoc quod dico, linea ponitur esse materialiter punctum: sic linea erit major puncto: et hoc est inconveniens, cum secundum

hoc punctum habeat quantitatem, qua lineae quantitas major est. Punctum enim qui est materia lineae secundum istos est ex omnibus punctis quae sunt in linea. Quia tamen dicunt, quod omnia puncta se tangunt, et tangentium nihil est intermedium, sequitur quod regio omnium punctorum est regio unius puncti: quorum est una sola regio, illa sunt unum: tunc sequitur quod omnia puncta sunt unum: ergo linea est unum punctum. Eadem omnino est ratio in divisione, si divisio, hoc est, relictum ex divisione sit punctum, et concedatur quod divisio illa tangit aliquid et in firmo et plano. Secundum unam autem similitudinem ponatur firmum esse ex planis, et planum, ponatur esse ex lineis: tunc enim necessario sequitur omnia hujus corpora esse unum et idem punctum, sicut est autem verum dicere secundum punctum, quod sit minimum. Adhuc est minimum in minimum eorum, hoc est, in minimam, rationem eorum quae sunt de his quae ex linea sunt, ex quibus, ipsa linea componitur: et sunt de his quae insunt lineae ut aliqua pars lineae existentia. Minimum autem dicitur minus his quorum ipsum est minimum. In linea autem nihil aliud dicitur esse quam punctum, cum tamen secundum veritatem linea insit lineae: et ideo linea non est major puncto, quia punctum non est aliquid lineae, sed terminus ejus: neque enim planum dicitur majus linea, cum linea non sit aliqua pars plani, sicut neque planum minimum est corporis: oportet enim quod comparabilia sint univoca in eo in quo comparantur: ergo patet ex dictis, quod punctum non erit minimum lineae: ergo neque per divisionem aufertur ab ipsa linea. Minus enim et minimum accipitur per divisionem ex eo cujus est minus. Si autem punctum sit aliquid compositum vel appositum lineae, ut dictum est, et minimum ad minus est in tribus personis sive individuis, oportet enim quod punctum et minus sit ejusdem

naturae cum minimo: tunc non potest punctum esse minimum lineae, sive eorum quae sunt in linea, sicut aliqua pars lineae existentia. Similiter autem est de aliis quaecumque insunt circa puncta et lineas in longitudine. Ex omnibus illis colligitur, quod non est longitudo aliqua ex punctis. Si autem dicatur quod punctum est aliquid ens in loco, tunc oportet quod ex punctis quae sunt in loco sit aliquid quod sit longitudo, vel planum, vel firmum. Ea autem ex quibus est linea, illa sunt in loco: etenim ipsa sunt linea: quia id quod est in loco, distensionem habet in finem in loco: et ideo puncta quae sunt in loco, distensionem habent: et ideo facere lineam possunt. Si ergo concedatur cum hoc, quod neque corpus inest lineae, neque planum, neque aliquid compositum ex his: tunc sequitur necessario, quod vel universaliter circa lineas et puncta ex eis est in alia longitudine: quia si concedatur punctum esse in loco, absque dubio erit corpus: et si non erit corpus, non erit in loco: quia non habebit tumorem, et sic non habebit longitudinem. Et sic sequentur opposita: si enim sunt in loco, tunc sunt lata, profunda, et longa: et sic componetur ex eis longitudo, et caeterae dimensiones: et si non est in eis aliqua dimensio lati et profundi, tunc non sunt in loco, et per consequens non erit ex eis longitudo vel aliqua dimensio.

Amplius autem si in loco ente vel demonstrato est longitudo quae dicta est esse major, quae est superficies, vel firmum sive corpus: punctum autem est de numero eorum quae sunt in loco in longitudine existens quae est circa puncta vel lineas quae componunt longitudinem, vel est praedictorum quae sunt in loco: ergo punctum non erit minimum eorum quae sic sunt in loco, et insunt eis: quia aliter corpora et plana quae sunt in loco, resolverentur ad. puncta existentia in loco: et puncla taliter in loco existentia essent corpora, sicut dictum est.

Amplius si punctum indivisibile erit minimum in linea quod per divisionem accipitur, tunc erit tale sicut in quod reducitur etiam minimum quod eorum quae sunt in domo, ad quod tamen domus componentia per comparationem non dicuntur: quia si diceretur ad ipsum, tunc oporteret esse univocationem in ipso in quo comparantur, hoc est, in quantitate. Similiter autem est in aliis quae componuntur ex partibus, a quarum quantitate est quantitas eorum: ergo etiam id quod est in linea minimum, sicut punctum, ut dicunt, erit ad lineam comparatum. Hoc autem est inconveniens: omne enim per divisionem acceptum in continuo minus est toto et comparatur ad ipsum: quare non congruet punctum dicere quid minimum per divisionem extractum de linea: quia in simili quod non est ens in domo, ut aliqua pars componens domum, non erit eorum quae sunt in domo minimum: et similiter est in aliis quae componuntur ex partibus. Convenit autem lineam ipsam secundum seipsam esse, hoc est, in quantum est linea: et tunc necessario habet aliud esse quam esse punctorum congregatorum: tunc pars lineae linea erit, et quaelibet erit divisibilis:. ergo si considerata linea nihil erit accipere per divisionem indivisibilem in linea, ergo simpliciter et absolute minimum non erit in ea: secundum hanc ergo lineam non erit verum dicere, quod aliquid sit in linea minimum in quo stet divisio, quia quolibet accepto per divisionem, est accipere minus: et hoc procedit in infinitum.