CAPUT II.

De solutione rationum inductarum de lineis indivisibilibus.

Sed his rationibus obviantes, primo ostendemus inconveniens esse quod dicitur, quod si aliquid quod est mensurae differentia vel passio, dividit lineam quamdam separatam et indivisibilem, sicut jam dictum est, sicut dividitur linea in rectam, et obliqiiam, et commensurabilem, et incommensurabilem: tunc absque dubio illud quod dividit hanc lineam indivisibilem in differentias, non erit aliqua differentiarum quae ponitur in geometria. Quaedam enim in libro decimo Geometriae dicuntur lineae dicibiles sive rationales, quibus positis et datis ratiocinantur. Quaedam autem dicuntur indicibiles, sive mutae et irrationales, quibus positis et datis ratiocinari non. possumus. Et hoc modo dividuntur lineae in deceni ordines in geometria, sicut patet intuenti decimum Euclidis: quia hic longum esset ista prosequi: et etiam hic non indigemus eis, nisi quod sciamus quod illa quae dividunt lineas in geometricis, non possunt dividere lineas indivisibiles, neque convenire eis. Cum ergo illa quae lineam dividunt ex duobus nominibus sub abcissione sive disjunctione conveniant omnibus lineis: eo quod immedia- te sint circa lineam, sicut affirmatio et negatio, et non conveniant lineis indivisibilibus: constat lineas indivisibiles nullas esse, quia secundum differentias inductas nullas habebunt naturas convenientes lineis geometricis, de quibus demonstrationes fiunt. Sed si habebunt eas, tunc non habebunt eas nisi ad invicem, ita scilicet ut una indivisibilis in comparatione ad. aliam indivisibilem dicatur rationalis, vel muta, vel commensuralis, vel incommensurabilis, vel communicans, vel incommuiiicans, et sic de aliis decem differentiis linearum.

His autem habitis, dicamus primo ad. primum respondentes, quod non est necessarium quod dicunt, scilicet quod illud quod sit parvum vel paucum, quod infinitas habeat divisiones partium. Et est instantia eorum dicti in proposito: quia in alio non invenitur in quo instantia fieri posset. Nos enim dicendo de loco et de magnitudinibus sensibilibus quas dicunt esse compositas, quod sint parva et pauca, dicimus quando congruit hoc dicere de quantitate eorum: non tamen dicimus sicut illi, quod hoc sit eo quod habeat paucas partes finitas numero et potentia. Sed dicimus quod habet infinitas potentia, licet paucas habeat actu: et hoc ipsi distinguere nesciverunt. Amplius autem si, ut aiunt illi, in lineis compositis sunt quaedam lineae de his indivisibilibus quas ipsi dicunt esse: tunc de illis indivisibilibus dicitur parvum et paucum, cum tamen in linea illa sint infinita puncta secundum eos actu. Lineae enim divisio etiamsi non concedatur dividi in lineas, tamen est secundum puncta: et est divisio ejus secundum unam similitudinem secundum qualecumque punctum: quia una est ratio divisionis in quolibet: et ideo secundum quo deum que divisibile est linea: ergo infinitas habebit divisiones linea secundum positionem earum, sicut prius. Omnis autem linea utique non indivisibilis est: et tamen quaedam secundum istos dividuntur in parvas, et sunt infini-

tae per divisionem, et tamen paucae. Superordinaturn est jam a nobis omnem lineam dividi, et nullam lineam indivisibilem esse. Ergo nihil est quod dicunt de parvo et pauco.

Amplius omne magnum ex parvis quibusdam componitur: propter quam rationem etiam magnum et parvum non dicuntur opposita esse secundum rem: nihil igitur erit magnum: vel oportet dicere, quod ex praedeterminatis quibusdam parvis sit compositum: et si tunc parvum terminatas divisiones habet, ut dicunt, tunc aut nihil erit magnum secundum eos, aut oportet dicere quod illud non sit magnum quod habet divisiones partium terminatas: quia haec est ratio parvi secundum eos. Omne enim totum habet partium divisiones sicut et partes habent suarum partium divisiones: et ideo si parva sunt partes magni, tunc oportet quod magnum habeat divisiones partium parvi: divisiones parvi autem sunt finitae, ut dicunt: igitur divisiones magni sunt finitae: sed haec est ratio parvi: ergo parvum est magnum: vel oportet dicere quod magnum non componitur ex parvis, si ipsi dicunt quod rationale est parvum habere partes determinatas et finitas, et magnum quod componitur ex parvo significant habere divisiones partium infinitas: quare manifestum est quod secundum rei veritatem, non potest dici magnum et parvum in hoc quod est determinatas et finitas habere partos, et in hoc quod est habere partes indeterminatas et finitas. Si autem induxit eos ad dicendum in lineis esse parvum ex paucis et finitis partibus esse, et videtur eis hoc esse dignum ad dicendum istud, quod in numeris vident paucum habere partes et divisiones habere terminatas, hoc est stultum: quia non sunt eadem principia generationis ex. quibus est discretum, sicut numerus, et ex quibus est continuum, ut linea. In numeris enim ex indivisibilibus unitatibus aggregatis est generatio numeri, et illud impartibile est quoddam determi-

natum in genere discreti: et ideo omnis numerus qui non est infinitus, terminatas et finitas habet divisiones. In maerni- tudinibus autem non est similis compositio, et ideo in his divisio procedit in infinitum.

Non est autem simile etiam in formis et speciebus quas dicunt Platonici, et tamen illi qui ponunt species esse ideas horum, accipiunt axionia quod est minus forte quam illud quod oppositum est: et secundum quemdam modum interimunt indivisibiles lineas per eadem quae ostendere intendunt eas esse: et e converso per hanc rationem species et ideae interimuntur: et ita utrumque interimitur per reliquum. Si enim sunt ideae, ut dicunt, separatae, illas impossibile est intrinsecas rebus esse: ergo non sunt partes linearum, ut dicunt: et ita per eadem interimunt species, per quae probare volunt: et e converso, si puncta in lineis sunt indivisibiles partes earum, tunc impossibile est quod sint species ideales eodem modo se habentes: idea enim est una unius: sed unius et ejusdem parvi plures sunt indivisibiles lineae, licet finitae: et ideo istud axionia nihil habet fortitudinis.

Rursus autem dicere dignum esse, quod indivisibilia quaedam sint prima corporalium, elementorum, est stultum: quamvis enim rursus quidam sic enuntient, tamen ad subjectam intentionem, hoc est, propositum, problema sumunt id quod est ex principio. Id enim quod a principio probandum est, hoc est, utrum sint indivisibilia quaedam ex quibus continuum est: et hoc ipsi sumunt in corporalibus elementis esse. Magis est autem contra eos qui quanto magis ipsi sumunt id quod est ex principio, et non possunt probare intentum vera probatione: tanto magis videbitur verum esse oppositum, scilicet quod omne corpus compositum sit et divisibile tripliciter, scilicet secundum linearum longitudines quae sunt in ipso, et secundum molem profundi quod est in ipso, et secundum

distantiam latitudinis superficiei quae est in ipso.

Zenonis autem ratio non concordat ad propositam intentionem in hoc quod dicit, quod id quod est latum sive motum per spatium, non tangat infinita in tempore terminato et finito. Sic enim et secundum eumdem modum et tempus et longitudo habent se ad esse infinitum, et esse finitum et terminatum, et tantas et tales habet divisiones unum sicut alterum: sicut etiam supra diximus in sexto Physicorum.

Neque etiam utique verum est quod dicunt, quod hoc sit numerare quod est singulum infinitorum tangere secundum mentem, nisi actu tangeret. Tangit enim ea mens in potentia divisionis tantum: et ideo hoc non est ea numerare: quia ea quae numerantur tactu mentis, secundum, actum sunt finita. Dubitatio enim est, utrum etiam quis intelliget hoc modo secundum mentem quod contingat infinita. Est enim forte hoc impossibile: sed alibi, hoc est, in tertio de Anima habet dici , ''quia absque dubio nunquam intelligens numerando pertransit infinita. Non enim est motio mentis per intellectum exiens spatium continuum et sibi subjectum super quod moveatur, sicut exigit id quod fertur corporaliter secundum locum: sed potius mentis motio est per intentiones specierum citra. Et si concedatur mens sic pertransire per continuum, hoc est numerare partes numeri secundum actum. Numerare enim est quod est cum scientia rerum secundum actum diversarum. Spatium autem non dividitur nisi potentia.

Sed fortassis inconveniens est quando aliquis non potest solvere rationem aliquam, quod cedat et serviat debilibus positionibus quae sunt contra sensum, et quod aliqui velint decipere seipsos contra hoc quod nuntiat eis sensus. Decipiunt enim isti seipsos secundum majores deceptiones, quam sint illae quas timent, et adjuvant impotentiam suam ut fiat fortior. Quando enim Zeno nescit solvere qualiter id quod fertur, transit spatium prius tangendo medium quam extremum. Et quando Democritus nescit rationem illam solvere, quod prima componentia sint indivisibilia. Negat Zeno motum, quod est majus inconveniens. Et ponit Democritus corpora indivisibilia vel lineas, quod est magis inconveniens quam id quod incidere timet. Qualiter autem solvantur rationes Zenonis, in sexto Physicorum supra scriptum est. Democriti autem ratio in libro Perigeneos habebit solutionem . Quod autem objiciunt per geometricas rationes de lineis commensurabilibus, quod scilicet omnes uno et eodem mensurantur, sophisticum est, et nequaquam concordat cum eis quae in mathematicis supponuntur. Non enim sic supponunt mathematici, quod lineae indivisibiles sint quae mensurant lineas commensurabiles: neque utile esset eis ad suas demonstrationes, cum non demonstrent nisi de lineis divisibilibus in lineas. Simul etiam cum dictis et etiam totum contrarium supponunt mathematici, et contrario modo omnem quidem lineam dicunt fieri, hoc est, divisibilem in partes divisibiles. Convenit autem etiam datis lineis indivisibilibus quas ponunt esse propter commensurationem adhuc significare lineam secundum quam commensuratio fit. Non enim probatur in geometricis commensurabilitas linearum per lineam indivisibilem, sed. potius per lineam divisibilem in infinitum: et sic inutilis est positio linearum indivisibilium, ex quo positis illis adhuc inquiritur de aliis secundum quas fiat commensuratio. Quare hoc quod dicunt, ridiculum est: quia secundum opinionem eorum etiam ex quibus dicunt dicentes se ostendere, probatur quod a veritate declinant se ad

litigativam disputationem, in quantum proterviunt contra veritatem, et deveniunt in rationem sophisticam in quantum paralogizant seipsos. Et haec quidem dicta Antiquorum sic ostenduntur esse debilia, ut dictum est. Multipliciter enim debilis est ista opinio: et secundum omnem modum nititur diffugere dicta probabilia et redargutiones quae fiunt ab ipsa veritate.

Adhuc autem inconveniens utique erit propter rationem Zenonis aliquem persuaderi, quod ponat esse indivisibiles lineas, propter hoc quod non habet ei nescit contradicere ad rationem Zenonis quam facit contra motionem per rectam aut semicircularem lineam, quam motionem, ut dicit Zeno, confestim necessarium est incidere infinitis peripheriis in semicirculo, et distantiis entibus in rectam lineam cadentibus in intermedio, antequam id quod fertur veniat ad extremum. Illi enim qui posuerunt indivisibiles lineas componere lineam, dicebant illas esse finitas, et sic intermedias esse finitas, et ita pervenire aliquando ad extremum: et hoc modo evadebant, ut eis videbatur, rationem Zenonis. Jsti autem ut evaderent unam aegritudinem opinionis, inciderunt in pejorem. Est autem hoc inconveniens, propter ea quae dicta sunt: et est rursus tanto magis inconveniens, quanto facile suadibile erat oppositum, propter motionem aequalium circulorum, hoc est aequalium arcuum in circulo, quos accipit in singulis horis id quod regulariter movetur in circulo vel semicirculo: per illos enim arcus facile suasibile est, quoniam utique necessarium est quodcumque movetur moveri secundum, majorem arcum semicirculi quam sit indivisibilis: et hoc est facile suasibiie per quaecumque alia talia, quae considerata sunt circa lineas, praecipue in sexto Physicorum, de quo supra expedivi dius. Persuadetur enim per omnia talia de facili, quod non est possibile quod nunquam talis contingat numerando media: quia mobile accipit de medio partem abi-

quotam quae numerat totum spatium, et non accipit partem indivisibilem. Haec enim multo probabilius concessa sunt quam illa quae ipsi dicunt. Manifestum est igitur quoniam neque necessarium est, neque probabile, quod propter dictas rationes Philosophorum indivisibiles esse lineae supponantur.