CAPUT III.

In quo inducuntur omnes rationes geometriae contra indivisibiles lineas.

Adhuc autem et ex dictis fiet utique manifestum non esse aliquas indivisibiles lineas, et sumemus primo rationes ex his quae in mathematicis dicuntur. Dicta autem in illis scientiis aut debent manere firmiter supposita, aut si submovenda sint, debent submoveri rationibus firmioribus et credibilioribus quam sunt ipsa: et hoc quidem esse non potest cum sint demonstrata. Indivisibiles igitur non esse lineas primo probatur per lineae diffinitionem: sive enim diffiniatur linea secundum se, sive diffiniatur linea recta, diffinitio lineae indivisibili non competit, quia linea in se et recta diffinitur per habere medium inter extrema. Linea autem indivisibilis, si est indivisibilis, medium nullum habet inter extrema: quia si habet medium inter extrema, dividitur necessario illud medium: quia inter extrema non est divisibile, ut probatum est supra in VI Physicorum : sed inter puncta duo continua est linea quae divisibilis est. Quod autem linea diffiniatur per habere medium, et etiam recta, linea, ex hoc patet quod in geometria dicitur, quod linea est longitudo sine latitudine, cujus extremitates sunt duo puncta. Recta autem linea secundum Platonem est, cujus medium non exit ab extremis, vel. cujus medium extrema cooperiunt.

Deinde etiam si sunt indivisibiles lineae, inter omnes lineae erunt commensurabiles et communicantes. Omnes enim mensurabuntur ab indivisibilibus lineis, sive longitudine sint commensurabiles et communicantes, sive potentia et non longitudine sint commensurabiles ctcommunicantes. Dicuntur autem linea) communicantes sive commensurabiles in longitudine, ut habetur in X Euclidis, quibus est una quantitas communis eas numerans. Communicantes autem et commensurabiles potentia dicuntur, quarum superficiem quadratam una superficies communis numeret. Si autem sunt indivisibiles lineae, ut isti dicunt, omnes erunt commensurabiles, per hoc quod iiidivisilcs lineae, ut isti dicunt, omnes sunt aequales: eo quod una non potest esse major vel minor alia, cum sint indivisibiles: ergo et potentia sunt commensurabiles: quia si quadrata fiat ex eis, numerat superficies illas alia superficies aliqua ex indivisibilibus lineis constituta per hoc quod sit aequalis illis. Si autem hoc detur, tetragonum constitutum ex indivisibilibus erit divisibile: et hoc non est intelligibile, qualiter divisibile componatur ex indivisibilibus. Necesse est autem dividi tetragonum quod aliqua superficie numeratur. Omne enim quod numeratur, dividitur: quia sicut diximus in praehabitis in tertio Physicorum, divisio est causa numeri, quia per numerum cognoscimus divisionem continui.

Amplius si. qua linea facit superficiem sibi circumscriptam aequalem in lateribus, quando linea in se ducitur ut quadratum ex ea constituatur, quod est praeter majorem latitudinem quam sit mensura lineae: omnis enim linea in se ducta quadratum constitiitu. it , quod est tantae latitudinis quanta est mensura lineae. Si, inquam, sic sit in omni linea in se ducta, tunc si superficies quadrangula quae fit ab indivisibili linea et pedali, hoc est, ex ductu lineae indivisibilis in pedalem circumponatur superficiei quadratae: quae sit ex ductu lineae bipedalis in seipsam, minorem facit latitudinem, quam si sola pedalis in se ducta eidem quadratae superficiei circumponeretur: tunc sequitur necessario, quod id quod producitur ab indivisibili linea, minus sit quam, impartibile. Et hoc sic declaratur: ponamus lineam bipcdaleni in seduci, et quadratum ex ea constitui, sicut docetur in secundo Euclidis. Fiat autem aliud quadratum ex ductu pedalis in se, etcircumponatur quadrato primo bipedalis lineae: constat quod constituitur major latitudo ex duobus quadratis sibi circumpositis et conjunctis quam fuerat latitudo unius solius. Est autem suppositio geometrica in secundo Euclidis, quod omnis linea in se et in quamlibet aliam duci potest, et ex producta parallelogrammum constitui. Si ergo aliqua est linea' indivisibilis ex. indivisibili linea et pedali in se ductis constituetur quadrangula superficies aequidistantium linearum, quae superficies parallelogrammum vocatur. Caini autem omnes quadrangulae superficies aequidistantium linearum latitudo tanta sit, quanta est mensura laterum in se invicem ductorum, oportet quod quadrangulum quod fit ex ductu pedalis in indivisibilem lineam, indivisibilis sit latitudinis et nullius: illud autem quod nullius est latitudinis, circumpositum cuicumque quadrato, non facit ^latitudinem majorem, sed potius minorem quam si sola linea bipedalis in se duceretur: ergo quadratum constitutum ex indivisibili linea et pedali minus est quam ipsa linea impartibilis: quia linea impartibilis ponitur linitae esse quantitatis et primae: productum autem nullius est quantitatis. Hoc ita dato, si quadrangulum minorem habet quantitatem quam impartibilis linea, ergo aliquid est minus impartibili: erffo linea impartibilis dividitur: et hoc est impossibile, sicut saepe in sexto libro Physicorum ostendimus.

Amplius si ex quibuslibet tribus datis

rectis lineis constituitur trigonum, sicut probatur exprimo Euclidis, tunc etiam ex tribus indivisibilibus constituetur triangulus. Hoc habito procedatur ulterius: quia in omni triangulo isopleuro, hoc est, qui duo aequa habet latera, cathecus cadit in mediam lineam, quae est inter duas: quia in eo linea recta vocatur cathecus. Erectam autem dicimus inter inferiorem et superiorem. Hypothenusa autem est descendens a summo catheci, et basis est jacens subtus cathecum: tota ergo haec dispositio etiam est lineis indivisibilibus trianguli: et hoc est impossibile etiam fingere volenti: quia indivisibile cum indivisibili nullum constituit angulum, nec indivisibile est medium duorum indivisibilium, nec indivisibile erigitur super indivisibile, nec indivisibile inaequale est indivisibili, sicut isopleurus duo habet latera aequalia, et tertium habet inaequale.

Amplius in geometria probatum est, quod, si fiat tetragonum, et dividatur per diametrum incidentem tetragonum, illud quadratum quod producitur ex diametro, est aequale quadrato catheci illius trianguli qui fit ex duabus collectis quadrati et diametro et medietate diametri. Totum enim quadratum quod fit ex diametro, est inaequale duobus quadratis, quae fiunt ex duabus costis quadrati aequalibus, sicut probatur ex penultima et ultima propositione Euclidis: ergo illud quod fit ex. medietate diametri, aequale est quadrato unius costae quadrati: et id quod fit ex altero, aequale est alteri quadrato quod fit ex costa secunda: ergo id quod fit ex una costa et medietate diametri tantum, est sicut id quod fit ex duabus costis quadrati. Si ergo omnia haec vera sunt, omnia haec necesse est etiam accidere in quadrato et diametro quae fiunt ex lineis indivisibilibus, hoc est quod si tetragonum impartibilium laterum componatur, et diameter in eo indivisibilis producatur per lineam incidentem eum per medium, fit cathecus ductus aliquod latus tetragoni, tunc opor-

tet quod costa, hoc est, quadratum costae possit per aequalitatem in cathecum, hoc est, in quadratum catheci et in medietatem diametri. Utrisque enim quadratis divisim sumptis, et non conjunctim, aequale est quadratum costae quadrati: et si hoc, tunc linea indivisibilis non est minima: quia expresse quadratum unius majus est quadrato alterius. Quadratum edim diametrum dupli est ad quadratum. costae. Si autem non est minima, tunc neque divisibilis est, neque prima: et etiam si dicatur indivisibilis, tunc non est verum quod duplum sit quadratum quod producitur a diametro ad quadratum alterius indivisibilis, quae est costa alterius. Si enim dicatur duplum, tunc ablato a diametro et aequali quadrato quod aequatur quadrato costae, id quod relinquitur erit minus quam prius fuit: fuit autem prius linea indivisibilis: ergo id quod remanet, minus est indivisibili: quod non est intelligibile. Si enim aequaliter aequalia costis addantur diametro, tunc absque dubio quadratum suum erit quadruplum unius laterum: ex se enim est duplum, et ei additur quod est aequale costis: et tunc erit quadruplum ad unamquamque costarum. Haec igitur sunt impossibilia quae sequuntur contra hanc opinionem: et de facili poterit aliquis contra eos conducere alia et alia impossibilia infinita: quia omnibus, sicut universaliter dicere possumus, quae in mathematicis sunt, contrariantur ea quae isti adversarii veritatis dicunt.