CAPUT V.

De probationibus quod linea non componatur ex punctis.

Quia autem et rationes eorum quae in principio inductae sunt, per quas conantur ostendere et suadere suum propositum, debiles sunt, et super falsas propo- sitiones fundatae, et oponiones corum sunt omnes contrariae his qui possunt contingere ad finem secundum quod opinio juvata rationibus fit fides, manifestum est utique quod nulla erit linea indivisibilis, etsi nulla alia ratio in oppositum adduceretur. Et hoc quidem manifestum est ex supra dictis, ubi et rationes eorum et instantiae rationum suarum sunt positae. Ulterius igitur hic manifestabimus, quod non utique ex puncto erit indivisibilis linea: hoc enim erit nobis facile hic ostendere: quia plurimae rationum inductarum contra lineas indivisibiles fere eaedem congruent etiam ad hoc quod lineae indivisibiles non sunt ex punctis: non enim oportet variare nisi nomen: quia linea indivisibilis et punctum non nisi nomine differunt, sicut ostensum est in praecedenti capitulo. Si enim linea componatur ex punctis, et omne quod componitur ex aliquo dividitur in illud ex quo compositum est, necessarium est dividi punctum: pars enim afferens quantitatem lineae est punctum, sicut linea componitur ex punctis: omne enim quod est quantum ex suis partibus habet quantitatem: pars autem afferens quantitatem toti, divisibilis est: ergo punctum est divisibile, si linea dividitur in punctum. Dividitur autem linea in punctum dupliciter, scilicet cum divisio fit per inaequalia ex superfluis lineis, hoc est, ex lineis quae superfluunt divisioni, et in quibus stat divisio: et illae sunt lineae primae indivisibiles in puncta, ut dicunt: vel cum fit divisio per inaequalia, quando fit divisio ex perfectis et compositis lineis: quia etiam illa divisio tandem sicut in ultimo stat in puncto. Sequitur etiam ex. hoc, quod si linea est ex punctis, quod ultima pars lineae non est linea, sed potius punctum, et similiter ultima pars corporis non erit corpus, sed omnia sicut in ultima parte resolvuntur ad puncta. Sequitur etiam ex dicta positione, quod linea indivisibilis

sit major linea puncto, hoc est, linea cujus quantitas non excedit punctum.: eo quod est indivisibilis: erit enim necessario indivisibili indivisibile majus: quia id quod componitur ex aliquo, et est totum majus sua parte componente. Si ergo linea indivisibilis componitur ex punctis, ipsa erit major, et sic indivisibile erit majus indivisibili. Ex hoc autem sequitur quod indivisibile non sit indivisibile, quia omne majus compositum est ex tanto quantum est id ex quo majus est, et ex pluri quo excedit ipsum. Quod autem hoc sit impossibile, patet etiam ex rationibus quae in mathematicis inducuntur, ubi supponitur indivisibile esse, cujus pars componens nulla est.

Adhuc autem et ratione physica accidit punctum in tempore esse: quia dicunt punctum esse quod fertur. Si enim punctum sit pars quanti, tunc quanto moto movetur etiam punctum per accidens: sed, ut in principio quinti Physicorum habitum est , quod movetur per accidens, sicut pars ejus quod movetur, movebitur per se, si separetur a toto: ergo punctum potest moveri per se: et quia omne quod movetur, in tempore movetur: et erit motus puncti in tempore: movebitur ergo per spatium majus in pluri tempore et spatium aequale inaequali. Et ex hoc sequitur, quod punctum sit divisibile, cum. omne quod movetur sit divisibile, sicut in VIII Physicorum declaravimus . Sed quia ibi diximus, quod hoc modo solo convenit indivisibile moveri si tempus sit ex nunc, forte isti dicent etiam tempus ex nunc esse, et ejusdem rationis est dicere ambo ista. Si utique concesserint, quod nunc est principium et terminus temporis, et linea etiam puncti sicut principii et termini sui. Sed quod hoc sit falsum, probatur ex hoc quod duo indivisibilia quorum unum est principium, et alterum terminus, non sunt ad invicem continua: sed habent aliquod continuum intermedium, sicut

in principio sexti Physicorum, probatum est: ergo utique neque duo nunc quorum unum est principium, et alterum terminus, neque duo puncta quorum unum est principium, alterum terminus erunt ad invicem continua.

Amplius omnis linea est magnitudo quaedam: punctorum autem multorum compositio non facit aliquam magnitudinem: eo quod nullum eorum habet divisionem quae majorem requirat locum quando composita sunt multa: hoc probatur ex simili: quia si linea componitur ad lineam, et superponitur ei congruenter, ita quod una non distet ab alia, nunquam fiet ex lineis sic sibi conjunctis alia latitudo, eo quod linea omni latitudine caret: ergo a simili etiam puncta, quae insunt in linea illa, utique puncta non retinebunt ampliorem locum, propter hoc quod nullius sunt quantitatis: quare utique non facient puncta aggregata magnitudinem aliquam.

Amplius si omnia puncta tangunt omne punctum, quando congregantur in unum locum, tunc necesse est quod punctum tangens punctum, aut totum tangat, aut aliquid puncti, sicut pars tangit aliquid alterius puncti quod est pars ejus, aut totum tangat aliquid vel partem: quam divisionem etiam in principio sexti Physicorum prosecuti sumus : et sicut ibi probavimus, punctum non potest tangere, nisi totum tangat totum: eo quod partem non habet cum sit impartibile. Sed omne totum tangens totum, necesse est idem esse cum ipso quod tangitur ab ipso: quia si totum tangit totum, nusquam distat ab eo: et quod nusquam distat ab aliquo quod est ejusdem naturae et rationis cum ipso, idem est illi, cum. nec forma, nec loco distinguatur: ergo punctum tangens punctum, idem erit cum puncto toto. Si enim detur punctum aliquod esse non tactum, aut etiam

utrumque ti, hoc est, utraque pars puncti, si partem habeat non esse tactam, tunc absque dubio totum non tangit totum, sed utrumque istorum est impossibile: quia per hoc quod aggregata ponuntur esse puncta, non est aliquid punctum seorsum distinctum ab alio: et per hoc quod est indivisibile punctum, non habet utrumque, quia non dividitur per medium: et ideo necessario totum tangit totum. Si autem simul sunt modo praedicto impartibilia puncta, eumdem retinent locum, et ejusdem quantitatis est locus nunc qui plura puncta habet in se, et qui prius antequam congregarentur, habuit tantum unum punctum: retinet enim ille locus extensionem entium simul punctorum, et extensionem non entium simul punctorum: et secundum hoc idem est ambobus locus. Impartibile autem non habet aliam distantiam secundum locum. Sicut enim dictum est in quarto Physicorum , neque unam inveniet aliquis distantiam puncti et loci puncti: ergo utique nulla erit magnitudo continua ex impartibilibus. Omnes enim partes continuae magnitudinis distantias habent locales: et impossibile est plures ejusdem magnitudinis partes in Joco unius partis esse: non ergo componitur linea ex punctis, neque tempus per rationem consimilem componitur ex nunc. . Amplius si magnitudo est ex punctis, absque dubio punctum tangit punctum: quia probavimus in sexto Physicorum , quod in mathematicis finis tactus continuum est: et quaecumque continua sunt, tangentia, sunt, sed non convertitur. Ponamus igitur quod punctum unum de congregatis sit k, et per praecedentem rationem omnia alia puncta congregata erunt in eodem loco cum ipso: ex puncto igitur K quod signavimus, extrahamus per circulum distinguendo punctum a et punctum B, et iterum punctum c et punctum D. Si igitur posuerimus et conces- serimus, quod c d puncta tangunt r, eo quod sunt in eodem loco proprio cum ipso, tunc etiam oportet concedere quod punctum quod est a r tanget r, et etiam illud quod est in eo quod est R d punctum tanget idem K: ergo et alio quodam quocumque voluerimus puncto fiet idem contactus, sicut diximus de k, quod omnia puncta tangunt inter quaecumque puncta accepta. Jam enim ostendimus, quod necesse est quod impartibile totum tangat totum: ergo omne punctum tangens R punctum habebit eumdem locum cum ipso R puncto: et similiter omnia tangentia puncta erunt in eodem loco cum tacto puncto: et e converso etiam sequitur, quod si sunt in eodem loco, quod tunc tangent se. Magnitudo igitur tota quae est a r sig. d cum non sit nisi punctorum compositio, est in loco indivisibili unius puncti, quod est maximum inconveniens. Et haec figura debet sic scribi, quod linea a r c d sicut hic vides eam, sint puncta aggregata, quorum nullum distare a loco alterius convincitur per rationem praecedentem.

Deinde sequitur adhuc magis impossibile. Sic enim sequitur, quod linea recta tangat aliam lineam rectam, non secundum unum punctum, sed secundum duo vel. plura puncta. Resumamus igitur dictam magnitudinem quae est a r gd: tunc enim punctum quod est in parte magnitudinis quae est a r, et punctum quod est in parte magnitudinis quae est r sig. tangit etiam alterum punctum quod est in fine magnitudinis sive in parte ultima: et si tangit alterum, tunc tangitur etiam ab altero: quia omne tactum tangitur a tangente: ergo punctum quod est ex c d parte ultima magnitudinis non tangit secundum unum punctum, sed tangit secundum plura puncta se tangentia et facta ab ipso: ergo cum linea recta tangit lineam in extremo sui, utraque tangit secundum plura puncta: et hoc impossibile est, cum tactus sit secundum ultimum, et ultimum lineae in parte una non. sit nisi unum. Eadem autem ratio est uuantum ad in-

conveniens praedictum, etiamsi non ponamus lineam tangere lineam, ita quod tactus sit per tactum ad invicem in extremo, sed tangat etiam qualitercumque, sicut tangit linea lineam, quando qualitercumque stat super ipsam, vel aliqualiter applicatur lineae linea. Amplius secundum dicta sequitur, quod etiam punctum quod est circuli circumferentia designatum, tangit rectam lineam, et secundum plura puncta. Id autem quod rectum est in circumferentia a puncto tangente: et id quod contactum, est in tota linea tangente tangit totum: et hoc ad invicem: quia si circumfrentia componitur ex punctis quae non distant per locum, sicut et linea, tunc uno puncto circumferentiae tangente quodlibet tangit. Et similiter est de punctis rectae lineae: et ideo puncta circumferentiae tangunt ad invicem: et puncta rectae lineae: et e converso puncta rectae lineae tangunt ad invicem, et puncta circumferentiae: et hoc est impossibile imaginari, cum linea recta circulum non tangat nisi in puncto uno secundum rei veritatem. Si ergo hoc est impossibile, et sequitur ex suppositione, tunc etiam impossibile est quod punctum tangat punctum in componenda magnitudine. Si autem impossibile est punctum tangere punctum, tunc etiam sequitur quod nec linea sit materialiter punctum, quia necessarium est quod punctum non tangat punctum: et ideo linea non componitur neque continuatur ex punctis.

Amplius qualiter posset assignari ratio secundum dictam positionem, quod aliquando sit linea recta ex contactu punctorum, et aliquando sit linea circularis ex contactu eorumdem punctorum: nullam enim habet differentiam contactus punctorum: eo quod omnia contingentia se puncta non faciunt distantiam secundum situm in magnitudine, neque circulariter, neque recte: unde contactus punctorum nihil omnino differt, neque in linea recta, neque inperfecta. Impartibile enim totum tangit impartibile: et jam. probatum est, quod non convenit fotum tangere: quia ex contactu nusquam producitur extensio aliqua magnitudinis. Si Igitur sunt differentes, quod una est recta, et alia circularis, contactus autem indifferens, non erit utique linea ex contactu punctorum: ergo neque ex punctis erit linea.

Amplius si linea est ex punctis, aut erit ex punctis tangentibus se, ita quod illud quod est ante in linea, tangat id quod est ante deinceps: aut erit ex punctis non tangentibus sic se ad Invicem. Et siquidem necessarium est, quod punctum anterius tangat id quod est deinceps in linea, tunc erit ex punctis sese tangentibus, et ex contactu punctorum: et tunc erit eadem ratio quae prius inducta est scilicet qualiter differenter lineae secundum formam generantur ex indifferenti contactu punctorum. Si autem in linea convenit aliquod punctorum qui sunt post primum punctum, deinceps in linea non est tangens, neque tactum cum aliis punctis: cum nos nihil aliud dicimus continuum quam quod ex aliquibus sese tangentibus in termino uno: oportebit et sic puncta tangere ad invicem, vel Ipsa puncta esse lineam continuam ex tali contactu: et hoc est contra hypothesim, quia positum erat quod non essent tangentia.

Amplius si inconveniens scientia sive conceptio est, quod punctum sit linea: et si inconveniens sit scientia sive conceptio, quod linea sit planum: tunc impossibile est hoc quod dicunt: sive enim puncta in linea deinceps ponantur esse sine motu, sive deinceps esse ponantur, ita quod sit Inter ea tactus, semper sequitur inconveniens. Si enim sint deinceps sine motu, tunc non sunt continuae: sed dividentur lineae, et dividentur quidem secundum neutram punctorum, sed potius inter medium quod est inter puncta sese non tangentia. Si autem se tangunt, tunc sicut ex superioribus probatur, tota magnitudo lineae non erit nisi regio unius puncti. Utrumque autem horum est impossibile.

Amplius si linea est ex punctis, tunc omnia dividentur et resolventur in punctum: et punctum erit prima pars corporis. Si corpus quidem est planum aggregatum in corpus, et planum est ex lineis. Si autem sic est, quod singula sunt composita ex his quae primum insunt illis, hoc est, quae primitus veniunt in compositionem eorum, tunc haec puncta erunt elementum omnium aliorum: ergo puncta erunt elementa corporum: ergo cum puncta sint unius rationis, erunt necessario elementa univoca et non altera secundum rationem et speciem: et tunc omnia quae sunt ex ipsis, erunt unius rationis, quod est maximum inconveniens. Manifestum est Igitur ex dictis, quoniam non est linea ex punctis.